Wahrscheinlichkeiten / Normalverteilung / Binomialverteilung

Question

Aufgabe:

1) Wie oft muss man würfeln, um mit 95% Sicherheit eine 6 zu bekommen?

2) Bei einem Test mit 10 Fragen gab es folgendes Ergebnis:

    1P     2P     3P     4P      5P     6P     7P     8P       9P      10P

    9       3       2       4         5       8        6       3          6         7

a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten, arithmetische Mittelwert, Modus und Median!

b) Man wählt 2 Kandidatinnen aus, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit

    i)  2 Kandidatinnen mit 7P,

    ii)  je eine Kandidatin mit 8P und 9P zu wählen.

3) Üblicherweise sind 20% von Prozessoren nicht brauchbar. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 8 Prozessoren

    a) höchstens 2 unbrauchbar sind

    b) mindestens 3 unbrauchbar sind

4) Toni will einen Würfel testen

 a) Er würfelt 10 mal, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens 2 bei würfelt?

 b) Er würfelt 900 mal, wie groß sind die Erwartungswert und die Standardabweichung?

 c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwischen 140 und 160 6er zu würfeln?

 d) Welche Verteilung wird bei a) bzw. bei c) verwendet und warum?

5) In zwei Urnen gibt es folgende Kugeln:

     U1: 8 weiße, 2 rote

     U2: 5 weiße, 1 rote

Zeichnen Sie ein Baumdiagramm (ohne Zurücklegen) und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für

   i) 2 rote Kugeln

  ii) keine rote Kugeln und

  iii) mindestens eine weiße Kugel (es wird zuerst eine Urne gewählt und dann 2 mal gezogen)

Problem/Ansatz:

Um ehrlich zu sein, habe ich bei alle Schwierigkeiten. Mathe ist, leider, nicht meine Stärke.

Deswegen würde es mich sehr freuen, wenn Sie es bitte ausführlich, und wenn möglich, mit Nebenrechnung diese Aufgaben für mich lösen würden.

Ich danke Ihnen vielmals im Voraus.

Comments

Du erwähnst im Titel "Normalverteilung". Wo bist Du der Ansicht, gehe es in diesen Aufgaben um Normalverteilung?

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Die Fragen 1 und 3 hat man Dir doch schon unter

https://www.mathelounge.de/656626/aufgabe-7-gegenereignisse-beim-funfmaligen-wurfeln

beantwortet. Warum stellst Du sie hier nochmals?

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Die Fragen 1 und 3 hat man Dir doch schon unter ... beantwortet. Warum stellst Du sie hier nochmals?

Unter dem Link finde ich nicht die Fragen 1 bis 3. War das ein versehen?

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Frage 1 hier ist Frage h auf der verlinkten Seite.

Frage 3b hier ("mindestens 3") wird analog zu Antwort e ("mindestens einmal") auf der verlinkten Seite gelöst.

Answer 1

Hier meine Lösungen der ersten drei Aufgaben zum Vergleich

Text erkannt:

1
$$ 1-(1-1 / 6)^{\wedge} n \geq 0.95 \rightarrow n \geq 17 $$
2. a)
2.b) i) \( 153 \cdot 6 / 52=21 \)
\( 378=0.0152 \)
2. b) ii)
\( P=2 \cdot 3 / 53 \cdot 6 / 52=9 / 689=0.0131 \)
3. a)
$$ \begin{array}{l} {n=8 ; p=0.2} \\ {P(X \leq 2)=\sum\left(\operatorname{COMB}(8, x) \cdot 0.2^{\wedge} x \cdot 0.8^{\wedge}(8-x), x, 0,2\right)=311296 / 390625=0.7969} \end{array} $$
3. b) \( P(X \geq 3)=1-P(X \leq 2)=79329 / 390625=0.2031 \)

Comments

Okay. Vielen lieben Dank :)

Answer 2

1) So oft, dass 1 - (1/6)ⁿ ≥ 0,95 ist.

2)

a) realtive Häufigkeiten: teile die absoluten Häufigkeiten durch die Größe der Grundgesammtheit.

Median: Der Wert, so dass mindestens die Hälfte nicht größer und mindestens dei Hälfte nicht kleiner ist.

Modus: das Ergebnis, das am häufigsten auftritt.

arithmetisches Mittel: multipliziere jeden Wert mit seiner relativen Häufigkeit. Addiere alle so erhaltenen Zahlen.

b) Baumdiagram mit zwei Ebenen, eine für die erste und eine für die zweite Person. Auf den Ebenen unterscheidest du

i) "7 Punkte" und "nicht 7 Punkte"

ii) "8 Punkte", "9 Punkte" und "weder 8 noch 9 Punkte"

3) Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der defekten Prozessoren. Die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass genau k Prozessoren defekt sind, beträgt laut Bernoulli-Formel

        P(X=k) = \(\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)

mit n = 8 und p = 20%.

a) Berechne P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

b) Berechne P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) oder einfacher

        1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))

4) a) ist unverständlich

b) Es ist nicht klar, von welcher Zufallsgröße Erwartungswert und Standardabweichung berechnet werden soll

c) Es ist nicht klar, wie oft gewürfelt wird (was also n ist). Prinzipiell wird aber wieder mit der Bernoulli-Formel mit p = 1/6 gerechnet, und zwar

        P(X=140) + P(X=141) + ... + P(X=160).

Dabei ist X dieses mal die Zufallsgröße "Anzahl der geworfenen 6er". Da dies recht aufwendig ist, hat dein Tachenrechner eine Funktion eingebaut, mit der du P(X≤k) berechnen kannst. Du findest sie unter "Bcd", "binomialcd" oder ähnlichem. Informiere dich, wie man mit deinem Taschenrecher kumulierte Binomialverteilung berechnet. Damit kannst du dann einfach

        P(X ≤ 160) - P(X ≤ 139)

berechnen.

d) Bei a) Weiß ich es nicht. Bei c) wird Binomialverteilung verwendet, weil es sich um eine Bernoulli-Kette handelt, das heißt ein Bernoulli-Versuch wird mehrmals unabhängig voneinander ausgeführt und man ist an der Anzahl der Erfolge interessiert.

Comments

Hallo.

Hier sind die Lösungen vom Frage Nummer 1, 2 a) und 3.

Könnten Sie mir bitte sagen, ob sie richtig sind.

1) Kommt raus.

n= log0,05 / log0.06= 1,06

2) a) Modus: 3 und 6

    Median: 8

    Arithmetische Mittelwert: 5,66.

b) Verstehe ich nicht. Könnten Sie mir bitte helfen.

3) a) n=8  p=0,2     q=0,8      k=0,1,2

Lösung: P(X=0)= 16,77     P(X=1)=33,55         P(X=2)=29,36

--> Zusammengerechnet: = 79,68%

b)   1- (16,77+33,55+29,36)= 49,32

Bitte korrigieren Sie mir diese Aufgaben, falls ich irgendwo Falsch haben sollte. Und könnten Sie mir bitte die Aufgabe 2) b) machen.

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Deine Lösung a) kann schon deshalb nicht richtig sein, weil man nicht 1,06 mal würfeln kann.

Wenn man zu lösen hat 1 - (1/6)ⁿ ≥ 0,95 dann geht das so:

1 - (1/6)ⁿ ≥ 0,95        Ι + (1/6)ⁿ

1 ≥  0,95 + (1/6)ⁿ      Ι - 0,95

0,05 ≥  (1/6)ⁿ            Ι log_1/6

n ≥ log_1/6 0,05 ≈ 1,67

Man muss also zweimal würfeln.

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1) Kommt raus. n= log0,05 / log0.06= 1,06

Sorry, die Ungleichung musste natürlich

        1 - (5/6)ⁿ ≥ 0,95

lauten.

        5/6 ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu Würfeln

        (5/6)ⁿ ist die Warhscheinlichkeit, in den ersten n Würfen keine keine 6 zu würfeln

        1 - (5/6)ⁿ ist die Gegenwahrscheinlichkeit, also die Warhscheinlichkeit, in den ersten n Würfen mindestens eine 6 zu würfeln

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Lösung von der Aufgabe 4:

a) 10 mal Würfeln höchstens 2 6er.

P(X=0) = (10 über 0) mal (1/6)⁰ mal (5/6)¹⁰

P(X=1) = (10 über 1) mal (1/6)¹ mal (5/6)⁹

P(X=2) = (10 über 2) mal (1/6)² mal (5/6)⁸

b) E(x) = 900. 1/6 = 150

sigma= √ 150 mal 5/6 = 11%

c) z1: 140-150 / 11 = -0,9 = 18,41%

   z2: 160- 150 / 11 = 0,9 = 81,59%

d) Normalverteilung.

Könnten Sie bitte diese Aufgabe auch für mich korrigieren?

Danke schön :)