Lineare Abbildung mit Matrizen beschrieben

Question

Die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) werde mit der Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {0} \\ {-1} & {0} & {1}\end{array}\right) \) beschrieben, d. h.
\( f(x)=A x \) für alle \( x \in \mathbb{R}^{3} . \) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung \( B[f]_{B}, \) wenn \( B \) die Basis \( B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) ist mit
$$ v_{1}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1} \\ {0} \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l} {3} \\ {2} \\ {2} \end{array}\right) $$

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix \(A\) erwartet rechts als Eingangsgrößen Vektoren mit Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(E\). Als Ergebnis liefert sie wieder Vektoren mit Koordinanten bezüglich der Standardbasis \(E\), d.h.:$$_EA_E=\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 1\\1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Wir suchen nun die Abbildungsmatrix \(_BA_B\) die rechts Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) erwartet und links ebenfalls Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) liefert. Die erhalten wir so:

$$_BA_B={_B\text{id}_E}\cdot{_EA_E}\cdot{_E\text{id}_B}$$

Mit \(_E\text{id}_B\) rechnen wir Vektoren, die bezüglich der Basis \(B\) angegeben sind, in Vektoren bezüglich der Basis \(E\) um. Dann lassen wir mittels \(_EA_E\) die Abbildung wirken. Schließlich transformieren wir mit \(_B\text{id}_E\) das Ergebnis der Abbildung wieder in den entsprechenden Vektor bezüglich der Basis \(B\).

Die geordneten Vektoren \((\vec v_1,\vec v_2, \vec v_3)\) bilden die Basis \(B\), ihre Koordinaten sind jedoch in der Standardbasis \(E\) angegeben. Das heißt der Vektor \((1,0,0)_B\) wird auf \((1,2,-1)_E\) abgebildet, der Vektor \((0,1,0)_B\) wird auf \((-1,-1,0)_E\) abgebildet und der Vektor \((0,0,1)_B\) wird auf \((3,2,2)_E\) abgebildet. Die Transformationsmatrix \(_E\text{id}_B\) erhalten wir also, indem wir die Basisvektoren von \(B\) als Spalten in eine Matrix schreiben:

$$_E\text{id}_B=\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 3\\2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\end{array}\right)$$Die inverse Matrix dazu liefert uns die Transformationsmatrix \(_B\text{id}_E\) in die andere Richtung, also von der Basis \(E\) zur Basis \(B\). Die Berechnung der Inversen führe ich hier nicht vor, sondern gebe sie einfach nur an:$$_B\text{id}_E=\left(_E\text{id}_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}-2 & 2 & 1\\-6 & 5 & 4\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Bleibt noch die eigentliche Berechnung, von der ich auch nur das Ergebnis angebe:

$$_BA_B=\left(\begin{array}{c}-2 & 2 & 1\\-6 & 5 & 4\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 1\\1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 3\\2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8 & 5 & -13\\-29 & 18 & -45\\-5 & 3 & -7\end{array}\right)$$

Comments

Ich hatte gerade beim Lesen dieser Antwort ein riesiges Aha-Erlebnis! Das hatte ich bis dato nie so richtig verstanden .Das ist ganz hervorragend erklärt... kurz, präzise und super verständlich.

Danke an Fragensteller und Antwortgeber für die Erleuchtung.

Answer 2

Wenn Du die Basisvektoren in eine Matrix stellst, dann hast Du eine Basiswechselmatrix

\( _ET_B=\left\{v_1,v_2,v_3\right\}\)

also von B nach E.

Kommst mit dem Hinweis weiter?