Matrizen Mf und Mg durch lineare Abbildung bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Matrizen M_f und M_g, die den linearen Abbildungen f : R³ → R² und g : R³ → R² zugeordnet sind, wobei gilt:

f(e₁) = \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \) , f(e₂) = \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \), f(e₃) = \( \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \)

g \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \) , g \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) , g \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

wie bekomme ich die Matrizen raus? Was muss ich tun? In unserem Script steht dazu leider nichts.

Answer 1

Für Mf schreibst du einfach die Bilder der Basisvektoren

in die Spalten der Matrix  M _f =

1    0   -1
1    1    2

Bei M_g musst du die Bilder erst noch ausrechnen..

z.B. kannst du g(e1) bestimmen, in dem du e1 durch die drei

Vektoren darstellst, deren Bilder du kennst.. Dazu Ansatz

e1=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) = x*\( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)+y*\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)+z*\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)

und x,y,z ausrechnen gibt x= - 0,5    y = 0,5     z=0,5

also ist  g(e1) = -0,5* \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \) +0,5* \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) +0,5* \( \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \)

Entsprechend für e2 und e3 und dann wie bei der ersten Aufgabe. Gibt

-1   0   1
1    1    0

Comments

Kurze Frage: Hast du x,y,z mit Hilfe des Gauß-Verfahrens berechnet oder gibt es da einen einfacheren Trick?

Und kannst du mir bitte erklären was der erste Vektor und der zweite Vektor bedeutet:

z.B.: $$ g \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $$

Bei der ersten Aufgabe stand ja schon e1, e2, e3.

Was bedeutet das für die zweite Aufgabe?

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Ich weiß nicht, ob ich das darf, aber ich füge hier mal ein Link ein:

https://www.mathelounge.de/556389/reelle-werte-lambda-bestimmen-matrix-nichttrivialen-losungen

Das ist etwas älter. Bin damit nicht 100% fertig. Kann mir da bitte jemand weiter helfen? Vielen Dank.