Lineare Unabhängigkeit in Bezug auf Polynome

Question

Aufgabe: Sind folgende Polynome linear unabhängig?

f(x) = 7,

g(x) = -5x + 1

h(x) = 25x + 2

k(x) = 8x³ + 2x

a(7) + b(-5x+1)+ c(25x+2) + d(8x³+2x) = 0

Ich komme ab hier nicht mehr weiter, hat jemand eine Idee?

Comments

Ausmultiplizieren und nach Potenzen von x sortieren.

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7a - 5bx + b 25cx + 8dxhoch3 + 2dx

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Hallo

 und jetzt überlege, ob du  Koeffizienten  ungleich 0 findest, so dass das für ALLE x stimmt.

und du hast nicht wirklich geordnet! geordnet sieht so aus x^0*(...)+x*(---)+x^3*(....) jetzt müssen alle () 0 sein.

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8d·x³ + (-5b + 25c + 2d)·x + (7a + b + 2c) = 0.
Koeffizientenvergleich. Löse das LGS
8d = 0
-5b + 25c + 2d = 0
7a + b + 2c = 0.

Answer 1

Aloha :)

Die Koeffizientenmatrix enthält eine Nullspalte:

$$\left(\begin{array}{c}8 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 25 & 2\\0 & 0 & -5 & 1\\0 & 0 & 0 & 7\end{array}\right)$$

Daher ist die Determinante \(=0\) und die Zeilenvektoren sind linear abhängig.

Alternativ dazu kann auch 5-mal die Zeile 3 zur Zeile 2 addieren

$$\left(\begin{array}{c}8 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 7\\0 & 0 & -5 & 1\\0 & 0 & 0 & 7\end{array}\right)$$

und erhält zwei gleiche Zeilen.