prüfen ob U ein Untervektorraum ist

Question

U:= {(x,y)∈ℝ²Ιx²+y²=1}, V=ℝ²

wie prüfe ich die 3 bedingungen korrekt?

kann ich so vorgehen?:

ist kein Untervektorraum, da {(1,0) , (0,1),...} (in der klammer gehört übereinander)
kein Vektorraum zum gegebenen ist, da z.B. für 3(1,0) = (3,0) die Bedingung x²+y²=1 nicht gilt.

 

wie schreib ich es korrekt auf?

Answer 1

Für einen Untervektorraum brauchst du, dass U tatsächlich in V liegt (oO) und dass es bezüglich der zwei Verknüpfungen abgeschlossen ist, du hast in diesem Fall die Intuition, dass U kein UV ist, also nimmst du dir eine Verknüpfung vor z.B. Multiplikation, nimmst einen speziellen Vektor und ein skalar und zeigst, dass das dann nicht mehr in U liegt (genau, wie du es gemacht hast)

Schön aufgerschrieben sieht es dann etwa so aus:

Sei V=ℝ² ein ℝ-Vektorraum, U:={(x,y)∈ℝ²|x²+y²=1}.

Behauptung: U ist kein Untervektorraum von V

Beweis:

Angenommen U sei ein UV zu V ⇒ λu∈U ∀ λ∈ℝ, u∈U

Betrachte u=(1,0)∈U, da 1²+0²=1 und λ=3∈ℝ, dann ist λu=3 (1,0)=(3,0)∉U mit 3²+0²=9 Widerspruch

⇒ Die Annahme war falsch ⇒ Die Behauptung ist richtig 

Comments

 :)


kannst Du mir auch bei folgender Aufgabe auch helfen? ich verstehe die Verknüpfung nicht ...

U:= {(x,0)Ιx∈ℝ}∪{(y,0)Ιy∈ℝ}, V=ℝ²

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Ich verstehe die Definition von U nicht ganz, da diese Vereinigung einfach nur überflüssig ist, so wie ich das sehe

ansonsten ist U':={(x,0)∈ℝ²|x∈ℝ} natürlich ein Untervektorraum, da (x,0)+(y,0)=(z,0)∈U, da x+y=z∈ℝ klar

und λ(x,0)=(λx,0)∈U ebenso klar

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wie würde ich das ganze mit ∩ machen?

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U:={(x,0)Ιx∈ℝ}∩{(y,0)Ιy∈ℝ} ?

Das ist genauso sinnlos, da {(x,0)Ιx∈ℝ} und {(y,0)Ιy∈ℝ} das gleiche sind, nur mit verschieden benannten Variablen

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ach so logisch und woher weiß ich dass es ein Untervektorraum ist?

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das hab ich für ein sinnvoll definiertes U' in meinem vorherigen Kommentar gezeigt, ich spare mir zu zeigen, dass U nicht-leer ist, weil das lächerlich ist und einfach nur erwähnt werden muss

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oh nein ich hab mich vertan dort steht {(0,y)Ιy∈ℝ}

was nun?

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Das ist wohl kein Unterraum, da die Vektoren (x,0), (0,y) in U liegen, (x,0)+(0,y)=(x,y) aber nicht

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Danke:) das heißt ich muss mit der Verknüpfung einfach aus(x,0) ∪ (0,y) =(x,y) machen oder?

Aber wie mache ich das mit ∩?

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Jein es geht bei der Vereinigung nur darum, welche Vektoren tatsächlich in U liegen, alle bei denen eine der beiden Komponenten 0 ist, die Vereinigung ist wie ein logisches "oder" zu verstehen, d.h. ein Vektor ist in U, wenn er in der 1. oder in der 2. Menge ist, diese Vektoren müssen dann unter Addition wieder in U, also in einer der beiden Mengen sein und das ist nicht der Fall

Mit dem Schnitt ist U={(0,0)}, also alle Vektoren, die in der ersten und in der zweiten menge liegen, bei denen also beide Komponenten 0 sind und das ist nur das eine

gleichzeitig ist U dann die Menge, die nur die 0 in V, also der Triviale Teilraum, da (0,0)+(0,0)=(0,0) in U liegt und irgendwas mit 0 multipliziert wieder 0 ist

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also ist es ein Unterraum, oder?

ich glaube ich habs jetzt ungefähr verstanden vielen Dank