Wie beweise ich dass f im Definitonsbereich differenzierbar ist? Bsp. a) f:ℝ →ℝ, f(x) = √(x^2+1)

Question

Aufgabe

Untersuchen Sie, ohne Nutzung der Kettenregel, ob folgende Funktionen auf ihrem
Definitionsbereich differenzierbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung.

a) f:ℝ →ℝ, f(x) = √(x^2+1)

b) f:ℝ_+ →ℝ, f(x)= sqrt(x+sqrt(x))

c) f:ℝ\{0} →ℝ, f(x)=e^(-1/x)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Funktion an der Stelle x ableitbar ist, wenn gilt:

f‘(x)= lim x→x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0) bzw. f‘(x)=(f(x+h)-f(x))/h

Zudem heißt die Funktion differenzierbar, wenn an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches der obige Grenzwert existiert.

Aber ich weiß nicht wie ich damit jetzt die Aufgabe lösen soll...

Kann mir jemand weiterhelfen?

Nachtrag:

Bei c haben wir bei der Aufgabe noch den Hinweis, dass wir die Restgliedabschätzung benutzen sollen, ich weiß allerdings nicht, wie das geht.

Answer 1

Dann wende doch deine Definitionen an, beim ersten

Fall ist es ja wohl so:  f(x) = √(x^2+1)  .

Betrachte  (f(x+h)-f(x))/h

Das ist hier

$$\frac{\sqrt{(x+h)^2 +1 }-\sqrt{x^2 +1 } }{h} $$

mit dem entsprechenden Summe Erweitern gibt

$$=\frac{(\sqrt{(x+h)^2 +1 }-\sqrt{x^2 +1} )*(\sqrt{(x+h)^2 +1 }+\sqrt{x^2 +1 )} }{h*(\sqrt{(x+h)^2 +1 }+\sqrt{x^2 +1 )}} $$

3. binomi. Fo. im Zähler

$$=\frac{((x+h)^2 +1 )-(x^2 +1 )  }{h*(\sqrt{(x+h)^2 +1 }+\sqrt{x^2 +1 )}} $$

$$=\frac{2hx+h^2  }{h*(\sqrt{(x+h)^2 +1 }+\sqrt{x^2 +1 )}} $$

$$=\frac{2x+h  }{\sqrt{(x+h)^2 +1 }+\sqrt{x^2 +1 }} $$

Und für h gegen 0 geht das gegen

$$f ' (x)  =\frac{2x }{2\sqrt{x^2 +1 }}   =\frac{x }{\sqrt{x^2 +1 }} $$

Comments

Danke, hab das jetzt auch hinbekommen.

Wenn ich das bei b mache, bekomme ich allerdings was anderes raus als beim Ableitungsrechner... weiß allerdings nicht, wo mein Fehler ist...

Bei c haben wir bei der Aufgabe noch den Hinweis, dass wir die Restgliedabschätzung benutzen sollen, ich weiß allerdings nicht, wie das geht.

Answer 2

Hattest du bei a) wirklich Klammern vergessen?

a) f:ℝ →ℝ, f(x) = √(x^2)+1

wäre etwas anderes.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A%28x%5E2%29%2B1

Text erkannt:

Input:
\( \sqrt{x^{2}}+1 \)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A%28x%5E2%2B1%29

Text erkannt:

Input:
\( \sqrt{x^{2}+1} \)
Plots:
\( \begin{array}{c}{y} \\ {} & {1.8} \\ {1.6} \\ {1.4} \\ {1.2} \\ {1.0} \\ {} \\ {-0.5} & {0.0 \quad 0.5 \quad 1.0 \quad 1.5}\end{array} \)

Nur schon im Bild siehst du, dass sich beide Versionen bei x=0 unterscheiden. Nr. 2 hat dort eine definierte Steigung, Nr. 1 nicht. 

Comments

Es soll alles unter der Wurzel stehen, also das 2. ist richtig

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Ah. Gut so, dann habe ich die richtigen Klammern in deiner Frage ergänzt.