Basen und Dimensionen von Unterräumen beweisen? U1={(x1|x2|x3|x4) ∈ R4| -x1-x2+x3=0}; U2 = <(-1|1|1|2);(2|-1|-1|2)>

Question

Gegeben sind im Vektorraum R⁴  die Unterräume 

U₁={(x₁|x₂|x₃|x₄) ∈ R⁴| -x1-x2+x3=0}

U₂ = <(-1|1|1|2);(2|-1|-1|2)>

 

Wie bestimme ich die Basis für:

                                                           U₁,U₂,

                                                           U₁ ∩ U_2; 

                                                           U₁+U₂

UND 

Wie bestimmt man die Dimension bzw. was ist die Dimension für dieses Beispiel ?

 

                                                        

Comments

Worin genau besteht der Unterschied zu:

https://www.mathelounge.de/66977/die-jeweiligen-basen-dimensionen-bestimmen-der-unterraume

?

Schau mal hier rein: https://www.mathelounge.de/66656/wie-beweise-ich-dass-u1-u2-in-r-3-gilt

und versuche die Antwort dort auf deine Fragestellung zu übertragen.

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Danke für den Link,

 

Die Idee konnte ich auf U₁ übertragen,aber wie bestimme ich die Basis nun für U₁?

U₂ habe ich nun auf lineare Unabhängigkeit hin untersucht.

Wie bestimmt man  Basen für den Durchschnitt und die Summe von Untervektorräumen im allgemeinen? ich komme da leider nicht weiter 

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U₁={(x₁|x₂|x₃|x₄) ∈ R⁴| -x1-x2+x3=0}

Basis?

Nimm einfach ein paar verschiedene lin. unabh. Vektoren in U1. (mögl. viele)

Answer 1

Hier noch die Antwortskizze zur Frage im Kommentar:

U₁={(x₁|x₂|x₃|x₄) ∈ R⁴| -x1-x2+x3=0}

Basis?

Nimm einfach ein paar verschiedene lin. unabh. Vektoren in U1. (mögl. viele)

(0,0,0,1)

(1,0,1,0)

(1,-1,0,0)

Ich vermute mal, dass du damit alle Vektoren in U1 darstellen kannst. Rang müsste 3 sein. Rechne das aber noch nach.