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Sei V ein Vektorraum

Wie zeige ich, dass v1, ....,vn∈ V genau dann linear unabhängig ist, wenn für jedes j {1,....,k} die echte Inklusion:

 <v1,....,vj-1,vj+1,.....,vk>  ⊆( durchgestrichen) <v1,....,vj-1,vj+1,...,vk> gilt,

also die lineare Hülle wird durch das wegnehmen eines Vektors vj immer echt kleiner. 

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<v1,....,vj-1,vj+1,.....,vk>  ⊆( durchgestrichen) <v1,....,vj-1,vj+1,...,vk> gilt,

ich sehe den Unterschied der Terme links und rechts nicht.

Meinst du ⊆ inklusive - unten dann noch druchgestrichen  mit einem / ?

Ja genau das meinte ich

Und worin besteht jetzt der Unterschied zwischen rechts und links? Wenn da das Gleiche steht, ist die Aussage falsch.

<v1,....,vj-1,vj+1,.....,vk>  ⊆( durchgestrichen) <v1,....,vj-1,vj+1,...,vk> gilt,

rechts und links steht das Gleiche, es soll gezeigt werden, dass die Vektoren v1,.....,vn ∈V dann linear unabhängig sind, wenn die obige Inklusion gilt, d.h. die lineare Hülle <v1,....,vn> wird durch die Wegnahme eines vektors vj immer echt kleiner.

Ist die Aussage falsch? Wenn ja, wie zeigt man das?

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Antwort mit KI erzeugt

Problemstellung:

Sei \( V \) ein Vektorraum. Wir sollen zeigen, dass die Vektoren \( v_1, v_2, \ldots, v_n \in V \) genau dann linear unabhängig sind, wenn für jedes \( j \in \{1, 2, \ldots, k\} \) die echte Inklusion

\( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subset \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \)

gilt. Das bedeutet, dass durch das Wegnehmen eines Vektors \( v_j \) die lineare Hülle \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) immer echt kleiner wird.

Beweis:

(→) Notwendigkeit: Angenommen, \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) sind linear unabhängig.

- Um zu zeigen, dass \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subsetneq \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \), nehmen wir an, dass dies für ein \( j \in \{1, 2, \ldots, k\} \) nicht der Fall ist und prüfen auf einen Widerspruch.

- Wenn \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle = \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) gilt, könnte man \( v_j \) als lineare Kombination der anderen Vektoren ausdrücken:

\( v_j = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_{j-1} v_{j-1} + \alpha_{j+1} v_{j+1} + \cdots + \alpha_k v_k \)

- Dies verletzt die Annahme der linearen Unabhängigkeit von \( v_1, v_2, \ldots, v_k \), da mindestens ein \( \alpha_i \neq 0 \) sein muss, damit die Darstellung nicht trivial ist. Daher muss die echte Inklusion \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subsetneq \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) gelten.

(←) Hinreichend: Angenommen, die echte Inklusion \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subsetneq \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) gilt für jedes \( j \in \{1, 2, \ldots, k\} \).

- Um zu zeigen, dass \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) linear unabhängig sind, nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist und suchen einen Widerspruch.

- Wenn \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) linear abhängig sind, dann gibt es eine nicht-triviale lineare Kombination (nicht alle \(\alpha_i\) sind null) solcher Art:

\( \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_k v_k = 0 \)

- Nehmen wir ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass \( \alpha_j \neq 0 \):

\( v_j = -\frac{\alpha_1}{\alpha_j} v_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_j} v_2 - \cdots - \frac{\alpha_{j-1}}{\alpha_j} v_{j-1} - \frac{\alpha_{j+1}}{\alpha_j} v_{j+1} - \cdots - \frac{\alpha_k}{\alpha_j} v_k \)

- Das bedeutet, dass \( v_j \) in der linearen Hülle der anderen Vektoren liegt, was im Widerspruch zu unserer Annahme einer echten Inklusion steht, da es bedeuten würde, dass \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle = \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \).

- Daher müssen die Vektoren \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) linear unabhängig sein.

Schlussfolgerung: Die Vektoren \( v_1, v_2, \ldots, v_k \) sind genau dann linear unabhängig, wenn für jedes \( j \) die echte Inklusion \( \langle v_1, v_2, \ldots, v_{j-1}, v_{j+1}, \ldots, v_k \rangle \subsetneq \langle v_1, v_2, \ldots, v_k \rangle \) gilt.
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