Graph Eigenschaften nach Lösungen Hilfe

Question

Aufgabe:

Eine Funktion dritten Grades soll die folgenden Eigenschaften haben. Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung, hat im Punkt P(1|4) einen Hochpunkt und an der Stelle x = 2 einen Wendepunkt.
a) Einer deiner Mitschüler hat daraus das folgenden Gleichungssystem aufgestellt:
Erläutere kurz, wieso das Gleichungssystem zu den obigen Anforderungen passt.
b) Löse das Gleichungssystem. [zur Kontrolle: ]
c) Der Graph besitzt außer dem Hochpunkt auch einen Tiefpunkt. Berechne die genauen Koordinaten.
d) Zeige, dass f tatsächlich bei x = 2 einen Wendepunkt besitzt.

Problem/Ansatz:

Hallo Leute bei n komme ich nicht mehr weiter wie würdet ihr das rechnen?

Comments

Die Aufgaben gehen nur von a) bis d); n kommt gar nicht vor ...   ;-)

Answer 1

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f(0)= 0 → d=0

f(1)= 4

f '(1) = 0

f ''(2) = 0

a) Einer deiner Mitschüler hat daraus das folgenden Gleichungssystem aufgestellt:
Erläutere kurz, wieso das Gleichungssystem zu den obigen Anforderungen passt.

System fehlt. Bitte posten!

Answer 2

Wenn dein Mitschüler so vorgegangen ist:

Ansatz: f(x) = ax³+bx²+cx+d

             f '(x)= 3ax²+2bx+c

             f ''(x)=6ax+b

f(0)= 0 → d=0
f(1)= 4  →     (1) 4=a+b+c
f '(1) = 0 →   (2) 0=3a+2b+c
f ''(2) = 0 →   (3) 0=12a+b

dann hat er alles richtig gemacht.

Answer 3

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx$$

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

$$f''(x)=6ax+2b$$

Da die Kurve durch den Ursprung verläuft, ist d=0.

P(1|4) ist Kurvenpunkt:

$$ f(1)=4=a+b+c\quad(I)$$

P(1|4) ist Hochpunkt:

$$ f'(1)=0= 3a+2b+c\quad(II)$$

x=2 ist Wendestelle:

$$f''(2)=0=12a+2b\quad(III)$$

\((II)-(I): -4=2a+b\quad(IV)\)

...

$$ a=1; b=-6; c=9$$

$$ f(x)=x^3-6x^2+9x$$