Beweise die Stetigkeit in isoliertem Punkt des Definitionsbereichs

Question

Sei D⊆ℝ, a∈D ein isolierter Punkt (d.h.:δ>0, sodass D∩(a-δ, a+δ)={a}).

Zeige, dass jede Funktion f: D->ℝ in a stetig ist.

Answer 1

Sei D⊆ℝ, a∈D ein isolierter Punkt (d.h.:δ>0, sodass D∩(a-δ, a+δ)={a}).

Zeige, dass jede Funktion f: D->ℝ in a stetig ist.

Jede Folge x_n von Stellen aus dem Definitionsbereich, die gegen a konvergiert, ist irgendwann d.h. ab einem N_0 immer näher als Delta/2 bei a. Daher x_n = a für alle n>N_0. Ab diesem N_0 ist f(x_n) immer = f(a). D.h. die Funktion ist an der Stelle x=a stetig.