Die exakte Berechnung des Parabelsegmentinhalts mit Streifenmethode

Question

ich habe schon den Inhalt für x², der b³/3 ist, mit der Streifenmethode berechnet. Wie kann ich mit dieser Erkenntnis den Flächeninhalt für x² + 1 einfach ermitteln?

Und das Gleiche nochmal mit x. Habe da b²/2 raus - also Inhalt von x + 1.

 

Danke :)

Comments

Also ich habe nicht wirklich verstanden was du wissen willst. Geht das etwas präziser?

---

Wir haben im Unterricht jetzt mit der Integralrechnung begonnen und haben bisher ein paar Beispiele mit der Streifenmethode des Archimedes (Ober- und Untersumme) berechnet. Dies wird quasi in der Einführung in die Integralrechnung gemacht.

Dazu haben wir bisher die Flächeninhalte von x² und x berechnet. Für den Flächeninhalt für x² im Intervall [0;b] habe ich b³/3 raus bekommen und für den Flächeninhalt von x im Intervall [0;b] habe ich b²/2 raus bekommen.

Jetzt soll ich den Flächeninhalt für x²+1 berechnen. Da der Flächeninhalt für x² schon bestimmt worden ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach ermitteln, da der Graph ja nur in y-Richtung verschoben wird - ich weiß nur nicht wie man das jetzt berechnet.

Zweite Aufgabe ist es den Flächeninhalt für x+1 im Intervall [0;1] zu berechnen, was auch einfach bestimmt werden kann, da der Flächeninhalt für x schon gegeben ist und auch hier der Graph nur in y-Richtung um 1 nach oben verschoben wird.

Hoffe, es ist nun verständlich :)

---

hallo

es kommt die fläche des rechtecks dazu, dessen höhe 1 ist.

sonst passiert da nicht weiter viel.

Answer 1

Schau dir folgende Skizze an:

Im linken Diagramm siehst du den Graphen einer Funktion, die nahezu der Funktion f ( x ) = x ² entspricht. Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse in den Grenzen 0 bis b ist grün markiert.

Nun wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben (rechtes Diagramm), stellt jetzt also die Funktion

g ( x ) = x ² + 1

dar. Die durch die Verschiebung hinzukommende Fläche ist rot markiert. Die grün markierte Fläche ist unverändert geblieben. Da es sich bei der hinzukommenden Fläche um ein Rechteck handelt, ist der hinzukommende Flächeninhalt also b * 1, sodass der Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion g also insgesamt

A = ( b ³ / 3 ) + b

beträgt.

Genauso verhält es sich bei der Funktion f ( x ) = x bzw. g ( x ) = x + 1. Auch hier kommt durch die Verschiebung um eine Einheit nach oben eine Fläche mit dem Inhalt b * 1 hinzu.

Comments

Danke :)) Sehr gut erklärt und sehr anschaulich :)))