Aloha :)
Ich empfehle vor der Integration mal genau auf die Integrationsgrenzen zu schauen:
$$I=\int\limits_0^1dy\int\limits_{y^2}^1dx\,2\sqrt x e^{x^2}$$
Die Grenzen sind so formuliert, dass \(x_{min}=x_{min}(y)\) gilt. Man muss also zuerst nach \(x\) integrieren, erhält dann durch Einsetzen der Integrationsgrenzen die vollständige Abhängigkeit von \(y\) und kann dann erst nach \(y\) integrieren. Die Integrationsgrenzen definieren eine Fläche in der xy-Ebene mit \(y^2\le x\le 1\) und \(0\le y\le1\). Wegen \(y\in[0;1]\) gilt auch auch \(y^2\in[0;1]\). Das heißt, \(x\) kann alle Werte aus \([0;1]\) annehmen. Andererseits ist \(y^2\le x\), sodass wir \(y\) in Abhängigkeit von \(x\) begrenzen können: \(y\in[0;\sqrt x]\). (Die negative Wurzel ist keine Option, da \(y\ge0\) gelten muss.) Im Integral können wir damit die Integrationsreihenfolge vertauschen und erhalten folgenden 1-Zeiler:
$$I=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^{\sqrt x}dy\,2\sqrt x e^{x^2}=\int\limits_0^12\sqrt x e^{x^2}[y]_0^{\sqrt x}dx=\int\limits_0^12xe^{x^2}dx=\left[e^{x^2}\right]_0^1=e-1$$
