Doppelintegral von f(x) = 2 x0.5 * e^ (x2) berechnen

Question

$$\int \limits_{0}^{1} \int \limits_{y^{2}}^{1} 2 \sqrt{x} e^{x^{2}} dx dy$$

Problem/Ansatz:

Guten Tag liebe Matheinteressierten,

Ich komme bei diesem Doppelintegral nicht weiter, bei meiner partiellen Integration kommt nichts richtiges heraus. Ich habe versucht die Integrationsreihenfolge zu vertauschen, aber dadurch wird es nicht einfacher. Daher meine Frage, wie ich hier ansetzen muss?

Vielen Dank im voraus.

Comments

Integral im Bild:

Titel: Wie löse ich dieses Integral? x^0.5 * e^x^2

Stichworte: integral,integralrechnung,substitution,partielle-integration,exponentialfunktion

es geht um folgendes Integral. Ich habe weder mit partieller Integration noch Substitution Erfolg bei dieser Aufgabe.
Ich habe alle mir bekannten Kombinationen und Möglichkeiten der oben genannten Verfahren ausprobiert und komme nicht zum Ziel. Vielleicht sieht hier jemand was, dass ich nicht sehe oder kennt einen Trick, den ich nicht kenne. 

Dhovakin

Text erkannt:

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Es sollte dx dy heissen (mit Leerschlag).

Answer 1

Aloha :)

Ich empfehle vor der Integration mal genau auf die Integrationsgrenzen zu schauen:

$$I=\int\limits_0^1dy\int\limits_{y^2}^1dx\,2\sqrt x e^{x^2}$$

Die Grenzen sind so formuliert, dass $x_{min}=x_{min}(y)$ gilt. Man muss also zuerst nach $x$ integrieren, erhält dann durch Einsetzen der Integrationsgrenzen die vollständige Abhängigkeit von $y$ und kann dann erst nach $y$ integrieren. Die Integrationsgrenzen definieren eine Fläche in der xy-Ebene mit $y^2\le x\le 1$ und $0\le y\le1$. Wegen $y\in[0;1]$ gilt auch auch $y^2\in[0;1]$. Das heißt, $x$ kann alle Werte aus $[0;1]$ annehmen. Andererseits ist $y^2\le x$, sodass wir $y$ in Abhängigkeit von $x$ begrenzen können: $y\in[0;\sqrt x]$. (Die negative Wurzel ist keine Option, da $y\ge0$ gelten muss.) Im Integral können wir damit die Integrationsreihenfolge vertauschen und erhalten folgenden 1-Zeiler:

$$I=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^{\sqrt x}dy\,2\sqrt x e^{x^2}=\int\limits_0^12\sqrt x e^{x^2}[y]_0^{\sqrt x}dx=\int\limits_0^12xe^{x^2}dx=\left[e^{x^2}\right]_0^1=e-1$$

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Respekt!                                        .