Wie mache ich folgende Relation zur Äquivalenzrelation und wie gebe ich die ÄZ-Klassen an?

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Relation gegeben:

B: {a,b,c,d,e,f } und R : {(a,b),(b,c),(c,c),(c,d),(b,f),(f,e),(e,e)}

Aus dieser Relation soll ich nun eine Äquivalenzrelation machen durch so wenig Paare wie möglich und die Äquivalenzklassen angeben.

Problem/Ansatz:

Meine Frage: Ich habe folgende Lösung (siehe unten) und diese nach den Äquivalenzklassen Reflexiv, Symmetrisch und Transitiv geordnet. Der Lösung zur Teilaufgabe "Äquivalenzklassen bilden" zufolge sei die Äquivalenzklasse B an sich die Lösung zur Angabe  der Äquivalenzklasse, warum ist dies so und warum geht meine Einteilung nicht?

Meine Lösung:

reflexiv :{ (a,a), (b,b), (d,d), (f,f) }

symmetrisch: {(b,a) ,(c,b),(d,e),(f,b),(e,f) }

transitiv: { (a,c), (b,d), (a,f), (b,e), (a,e), (a,d)}

Die Äquivalenzklassen sind m.E. reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Answer 1

reflexiv :{ (a,a), (b,b), (d,d), (f,f) } richtig

symmetrisch: {(b,a) ,(c,b),(d,c),(f,b),(e,f) } korrigiert

transitiv: { (a,c), (b,e), (f,c) (f,a) (e,b) (c,f) ...} korrigiert.  

Comments

Danke für die Antwort. Das heißt, bei der Transitivität muss ich also Hin und Rückkantenwege mit angeben? D.h. die Lösung der Transivität wäre: (a,c), (b,d), (b,e), (f,a), (e,b), (c,a), (d,b), (a,f) ? //  (f,c), (c,f) kann ich nicht nachvollziehen, warum dies gilt

Und was ist dann die Äquivalenzklasse der gesamt Äquivalenzrelation. Meines Erachtens sind die Äquivalenzklassen die Transitivität, die Reflexivität und die Symmetrie. Dem Lösungsblatt zufolge sei dies jedoch nur B, können Sie mir sagen warum meins dann falsch ist?

---

 Beachte   36 - 7  =  29

---

@Gasthj2166 - Ich verstehe nicht, 36-7 =29 in diesem Kontext bedeutet. VG

---

@ThePhysik

Zu Transitivität: Du musst für jedes Tupelpaar (r,s) und (s,t), dass schon vorhanden ist oder gerade gefunden wurde, auch das Paar (r,t) hinzufügen.

Zu den Äquivalenzklassen: Die Äquivalenzklassen sind nicht die Transitivität, die Reflexivität und die Symmetrie. Das sind Eigenschaften der gesamten Äquivalenzrelation.

---

Ich verstehe nicht, 36-7 =29

Stell dir die Frage :  "Wer ist alles mit wem in einer Äquivalenzklasse ?"

Offenbar  a mit b ,  b mit c ,  c mit d ,  b mit f  und  f mit e , also letztlich jeder mit jedem.

Es gibt nur eine Äquivalenzklasse, alle möglichen Paare der 6 Elemente, d.h. B^2 mit seinen 36 Elementen bildet die Relation R. Da davon schon 7 gegeben sind, musst du noch weitere 29 angeben.