Asymptoten von e^{1-0,5x^2} + Verhalten im Unendlichen von f'(x)

Question

Aufgabe:
f(x)= \( e^{1-0,5x^2} \) , Df= R
Gesucht:
a) Asymptoten von Gf
b) Bestimmen mit Hilfe der L'Hospitalschen Regeln das Verhalten von f'(x) im Unendlichen

Problem/Ansatz: (bedarf Korrektur, diese Aufgaben sind so schwer für mich, alle anderen werden einfacher sein)
a) zur Bestimmung von Asymptoten muss ich das Verhalten an den Definitionslücken berechnen oder? hier ist es - ∞ und + ∞ (da Df=R?)
lim x → + ∞ \( e^{1-0,5x^2} \)
Potenz von e geht gegen -∞ daher geht das Term gegen 0
lim x → - ∞ \( e^{1-0,5x^2} \)
Potenz von e geht auch gegen -∞ daher geht das Term auch gegen 0
Daraus folgt: Waagrechte Asymptote y= 0

b) (konnte zu keinem plausiblen Ergebnis kommen):
f'(x) = \( e^{1-0,5x^2} \) . - x

lim x → + ∞  -x . \( e^{1-0,5x^2} \) (minus x geht gegen - ∞ und Potenz von e geht gegen 0, daher geht \( e^{1-0,5x^2} \) gegen 1
= l'H \( e^{1-0,5x^2} \) (\( x^{2}-1 \))
potenz von e geht gegen 0 und daher geht \( e^{1-0,5x^2} \) gegen 1 und (\( x^{2}-1 \)) geht gegen + ∞
daher geht das Ganze gegen 1 . + ∞ = + ∞

lim x → - ∞  -x . \( e^{1-0,5x^2} \) (minus x geht gegen + ∞ und Potenz von e geht gegen 1, daher geht \( e^{1-0,5x^2} \) gegen e???
= l'H \( e^{1-0,5x^2} \) (\( x^{2}-1 \))
potenz von e geht gegen 1 und daher geht \( e^{1-0,5x^2} \) gegen e??? und (\( x^{2}-1 \)) geht gegen - ∞
daher geht das Ganze gegen e . - ∞ = - ∞

Ich bin dankbar für jede Hilfe

Comments

-1.06 ist einfach nur der gerichtete Flächeninhalt. Das besagt nur das sch die Fläche unter der x-Achse ergibt. Wenn man sich eine Skizze zeichnet sollte man das sehen.

~plot~ -x·e^(1-0.5·x^2);x=1;[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Nimm also nur einfach den Betrag und du hast gerundet den richtigen Flächeninhalt.

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Bitte zerpflücke nicht eine Aufgabe mit einer Funktion in lauter Einzelteile. Bitte stelle Aufgabenteile die zusammengehören auch immer zusammen.

Answer 1

f ( x ) = e ^(1-x^2/2)
a:
x^2 für ( - ∞ ) oder ( + ∞ ) ist dasselbe
1 - ∞ = - ∞
e ^(-∞) = 0
lim x -> ± ∞ = 0

b.) soll l´hospital angewendet werden.
Geht im Kommentarfeld weiter

Comments

Hier meine Berechnungen

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zur ersten Zeile im Bild:

-x geht doch gegen - ∞ oder? (wenn x gegen ∞ geht)

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andere Frage: wie kamen Sie darauf, dass Sie aus dem Term einen Bruch gemacht haben? ist das eine bekannte Methode?

Dann haben die den umgekehrten Bruch genommen

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1.)
( - x ) :
lim x geht gegen - ∞ oder + ∞
( -x ) geht dann gegen + ∞ oder - ∞
Ganz zum Schluß geht die Lösung :
gegen 0(-) oder 0(+)

zu 2.)
falls du meinst

term1 = 0
term2 = ∞

L´Hospital ist anwendbar für
0 / 0 oder ∞ / ∞

Also wenden wir Trick 17 an und ersetzen
0 * ∞
=
0 / ( 1 / ∞ )

oder
term1 * term2
=
term1 / ( 1/ term2 )
was  0 / 0 ist. Dann kann L´Hospital
angewendet werden.

Frag nach bis alles klar ist

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das "-" vor x haben sie weggelassen, weil es unwichtig ist?

Und warum haben sie "gibt nichts" oben geschrieben? wird es nicht dann 0/- ∞ = 0 ?

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Es soll der Grenzwert für - unendlich und für + unendlich
berechnet werden.
-x ist einmal plus unendlich, einmal minus unendlich.
Du kannst beide Nachweise führen. Als Ergebniskommt einmal
Null(-) : null von unten einmal
Null(+) : null von oben heraus.

Die Funktion term1 * term2 ( 0 mal unendlich )
kann umgewandelt werden in
term1/ (1/term2) : 0 / 0
oder
term2 / ( 1/term1) : unendlich / ( 1/ null) = ∞ / ∞
Manchmal funktioniert das eine und das andere
nicht.
Hier die erste Variante ( geht nicht )

Term1/ (1/term2)

f´ = e^(1-x^2/2) * x
umWandlung : z ist Zähler des Bruchs
n = Nenner des Bruchs

Am Ende des Rechengangs sind wir wieder bei
der Ausgangsfunktion angelangt.
L´Hospital führt hier lediglich im Kreis herum.
Gibt nichts.

Du kannst dich manuell einmal daran versuchen.

mfg

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Aber die Ableitung vom Nenner ist \( \frac{-1}{x^2} \)

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Richtig. Fehler meinerseits.
Hier der richtige Rechengang.

In der 6.Zeile steht das richtige Ergebnis.
Jetzt haben wir aber wieder den Fall
unendlich * null
Man könnte wieder L´Hospital anwenden.
oder
einmal 10,100,1000 für x einsetzen
Hier zeigt sich das die Angelegenheit immer
mehr gegen null geht.

mfg

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Die 2.Variante, wie oben handschriftlich angeführt
ist besser

die 3 unteren roten Zeilen gelten nicht.

0 durch unendlich = 0
mfg

Answer 2

Aloha :)

Es geht um die Funktion \(f(x)=e^{1-\frac{x^2}{2}}\;,\;D=\mathbb{R}\).

Die Funktion hat keine Definitionslücken, du kannst aber das Verhalten für \(x\to0\) und für \(x\to\pm\infty\) betrachten. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, sodass wir nur \(x\to\infty\) zu betrachten brauchen:

$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(e\cdot e^{-x^2/2}\right)=e\cdot0=0$$$$f(x)=e\cdot e^{-x^2/2}\approx e\cdot\left(1-\frac{x^2}{2}\right)\quad;\quad|x|\ll1$$

Das Verhalten der Ableitung \(f'(x)=-xe^{1-\frac{x^2}{2}}\) im Unendlichen soll mit L'Hospital untersucht werden:

$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f'(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(-xe\cdot e^{-x^2/2}\right)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\frac{-xe}{e^{x^2/2}}\right)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\frac{-e}{xe^{x^2/2}}\right)=0$$

Comments

wie haben sie den letzten Schritt gemacht? (dass sie auf ( \( \frac{-e}{x. e^{x^2 /2 }} \) kamen?

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Da habe ich L'Hospital angewendet.

Ableitung vom Zähler: \((-xe)'=-e\)

Ableitung vom Nenner: \((e^{x^2/2})'=xe^{x^2/2}\)

Answer 3

Schreibe f '(x) so:

f '(x) = -x/e^(0,5x^2-1)

Answer 4

Hallo  cupofhappiness,

Zu a):

Wg. $$D_{f} = \mathbb{R}$$ gilt deine Asymptotengleichung a: y=0. Eine andere Darstellung deiner Lösung wäre:

$$\lim\limits_{x\to\infty}(f(x))=0 \text{ da } x \rightarrow \infty:x^{2}\rightarrow \infty : e^{1-0,5x^2}\rightarrow 0 \text{ (Annäherung von oben) } $$

Zu b):

$$\text { Mit f '(x)=} e^{1-0,5x^2}*(-x) \text { ergibt sich der Fall } \text{ 0 * } \infty: x \rightarrow +- \infty: f(x)\Longrightarrow 0$$

VG Knobler_27

Answer 5

Für den orientierten Flächeninhalt den Betrag bilden.

A = | f(1) - f(0) | = | √e - e | = e - √e