Ich glaube, es ist besser, wenn ich dir die gesamte Induktion vorführe (wobei sich die von mir verwendeten Begriffe möglicherweise von den dir bekannten etwas unterscheiden, da mein Studium doch schon ein paar Jahre zurückliegt):
Zu zeigen ist: \(\sum _{ k=1 }^{ n }{ k*k! } =(n+1)!-1\)
Induktionsanker:
Zeige, dass die Gleichung für ein bestimmtes n gilt. Ich wähle n=1:
$$\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ k*k! } =1*1!=1=2-1=(1+1)!-1$$
Induktionsvoraussetzung:
Für ein festes n gelte: \(\sum _{ k=1 }^{ n }{ k*k! } =(n+1)!-1\)
Induktionsbehauptung:
Dann gilt für n+1: \(\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k*k! } =(n+2)!-1\)
Beweis:
$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k*k! }$$
Summe zerlegen in die Summe aus den ersten n Gliedern und dem (n+1)-ten Glied:
$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ k*k! } +(n+1)*(n+1)!$$
Die Summe der ersten n Glieder ist durch die Induktionsvoraussetzung gegeben:
$$=(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!$$
Nun wird (n+1)! ausgeklammert:
$$=(n+1+1)*(n+1)!-1$$
Zusammenfassen und umformen:
$$=(n+2)*(n+1)!-1$$
Es gilt: ( n + 2 ) * ( n + 1 ) ! =( n + 2 ) ! , also:
$$=(n+2)!-1$$
q.e.d.
Damit gilt wegen des Axioms von der vollständigen Induktion
\(\sum _{ k=1 }^{ n }{ k*k! } =(n+1)!-1\) für alle \(n ≥ 1\)
