Wie bestimme ich den Konvergenzradius? Summanden mit Differenzen von Wurzeln

Question

Wisst ihr viellicht, wie ich diesen Konvergenzradius bestimmen kann. Die Euler-Formel bzw. die Formel von Cauchy-Hadamard hat mich leider nicht weitergebracht, weshalb ich nicht mehr so ganz weiter weiß, wie ich weiter vorgehen könnte.

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})z^{n}$$

und Frohe Weihnachten!

Comments

Die Aussage ist abhängig von z^n.

-> für |z| < 1 ist sie absolut konvergent.

Answer 1

Hallo,

verwende das inverse Quotientenkriterium.

Comments

Habe es gegoogelt aber nicht gefunden:( was genau meinst du?

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siehe meine Rechnung... der Konvergenzradius ist quasi das "umgekehrte" Quotienten-Kriterium.

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Ich meinte die Formel, welche Tschakabumba in seiner Antwort verwendete. Ich glaube du bezeichnest sie als "Euler Formel".

Answer 2

Aloha :)

Schreibe die Summanden der Reihe wie folgt um:

$$a_n=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt n\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}$$

Jetzt kannst du den Konvergenzradius bestimmen:

$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\sqrt {n+1}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n+1}}+1\right)}{\sqrt n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}\right|$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\sqrt{1+\frac{1}{n}}\cdot\frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n+1}}+1\right)}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}\right|=\left|\sqrt{1+0}\cdot\frac{\sqrt{1+0}+1}{\sqrt{1+0}+1}\right|=1$$

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Das z^n ist nicht Teil von a_n.

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Oha, stimmt. Danke für den Hinweis. Ich korrigiere das direkt ;)