Inverse Matrix mit komplexen Zahlen

Question

ich hab' folgendes Problem: Ich wollte die Inverse Matrix zu C =  \( \begin{pmatrix} i & -i \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) bestimmen. Dazu gibt es ja die Formel:

C^-1 = \( \frac{1}{det(C)} \) * \( \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).

Wenn ich das aber tue kommt folgendes raus:

C-1 = \( \frac{1}{2i} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & i \\ -1 & i \end{pmatrix} \)

      = \( \begin{pmatrix} 0,5i & -0,5 \\ -0,5i & -0,5 \end{pmatrix} \).

Würde ich jetzt die Probe machen : C*C-1 kommt \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) heraus.

Also müsste ich bei C-1 nur die Vorzeichen wechseln, aber warum? Ich finde meinen Fehler leider nicht.

Answer 1

\(\dfrac{1}{2i} \) ist gleich \(-\dfrac{i}{2}\).

Nach der Probe hast du anscheinend nur ein Vorzeichenfehler. Nämlich musst du jeden Eintrag noch mit -1 multiplizieren.
Bspw. ist \(\dfrac{1}{2i} \cdot 1 = -\dfrac{i}{2} = -0.5 i\) und \(\dfrac{1}{2i} \cdot i =\dfrac{1}{2} = 0.5\).

\(\det C = i - (-i)= 2i \\ \Longrightarrow C^{-1} = -\dfrac{i}{2} \begin{pmatrix} 1& i\\ -1& -i\end{pmatrix} =  -\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} i& -1\\ -i& 1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -i& 1\\ i& -1\end{pmatrix}  \)