Hallo,
alternativ eine weitere Möglichkeit mittels Lösungsformel.
Falls keine Methode in der Aufgabe angegeben ist, kannst Du die Aufgabe auch durch Trennung der Variablen lösen.
\( y^{\prime}+\frac{x}{1+x^{2}} y=\frac{x}{1+x^{2}} \)
\( g(x)=s(x)=\frac{x}{1+x^{2}} \)
$$ \int g(x) d x=\int \frac{x}{1+x^{2}} d x=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right) $$
\( \begin{aligned} \int s (x) e^{\int g(x) d x}=& \int \frac{x}{1+x^{2}} \cdot e^{\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)} d x \\ &=\int \frac{x}{1+x^{2}} \sqrt{x^{2}+1} d x \\ &=\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} d x \\ &=\sqrt{x^{2}+1} \end{aligned} \)
allgemein: \( y=e^{-\int g(x) d x}\left[s(x) \cdot e^{\int g(x) d x} d x+c\right] \)
\( y=e^{-\dfrac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)[\sqrt{x^{2}+1}+c]} \)
\( y=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}[\sqrt{x^{2}+1}+c] \)
\( y=1+\dfrac{c}{\sqrt{x^{2}+1}} \)