Variation der Konstanten - DGL - y' + (x/(1+x^2)) y = (x/(1+x^2))

Question

Aufgabe:

y' + (x/(1+x^2)) y = (x/(1+x^2))

Problem/Ansatz:

Nachdem ich yp und yp' in die Form

yp'+ g(x)yp = r(x)

einsetze kann ich den Term nicht auflösen, so dass ich c'(x) erhalte.

Wie gehe ich da vor? Oder habe ich was falsch gemacht?

Answer 1

Hallo,

alternativ eine weitere Möglichkeit mittels Lösungsformel.

Falls keine Methode in der Aufgabe angegeben ist, kannst Du die Aufgabe auch durch Trennung der Variablen lösen.

\( y^{\prime}+\frac{x}{1+x^{2}} y=\frac{x}{1+x^{2}} \)

\( g(x)=s(x)=\frac{x}{1+x^{2}} \)
$$ \int g(x) d x=\int \frac{x}{1+x^{2}} d x=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right) $$

\( \begin{aligned} \int s (x) e^{\int g(x) d x}=& \int \frac{x}{1+x^{2}} \cdot e^{\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)} d x \\ &=\int \frac{x}{1+x^{2}} \sqrt{x^{2}+1} d x \\ &=\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} d x \\ &=\sqrt{x^{2}+1} \end{aligned} \)

allgemein: \( y=e^{-\int g(x) d x}\left[s(x) \cdot e^{\int g(x) d x} d x+c\right] \)

\( y=e^{-\dfrac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)[\sqrt{x^{2}+1}+c]} \)
\( y=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}[\sqrt{x^{2}+1}+c] \)
\( y=1+\dfrac{c}{\sqrt{x^{2}+1}} \)

Answer 2

$$\frac{c'(x)\cdot\sqrt{1+x^2}-c(x)\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\\[25px] =\frac{c'(x)\cdot\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} -\frac{c(x)\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\\[25px] =\frac{c'(x)}{\sqrt{1+x^2}} -\frac{c(x)\cdot x}{\sqrt{1+x^2}\cdot (1+x^2)} $$

Die Teile mit \(c(x)\) heben sich also auf und du kannst nach \(c'(x)\) umstellen und integrieren.

Comments

sieht gut aus. Danke