Integral integral zusammengesetzter funktionen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie zu der Funktion

f(x){ 0 für x<0

     { sin(x) für 0<=x<=π

     { 0 für π<x

die Integralfunktion

F(X)=\( \int\limits_{0}^{x} \) f(t)dt
Problem/Ansatz:

Lösung

x<0 ist f(x)=0, daher folgt

F(X)=\( \int\limits_{0}^{x} \) 0dt=0

Für 0<=x<= π ist f(x) = sin(x), daher folgt,

F(X)=\( \int\limits_{0}^{x} \) sin(t)dt=-cos(x)+1

für π<=x ist f(x)=0 , daher folgt

F(X)=\( \int\limits_{0}^{x} \) f(t)dt=\( \int\limits_{0}^{π} \) sin(t)dt+\( \int\limits_{π}^{x} \) f(t)d=-cos(π)+1 +0=2

Meine Frage warum haben wir im letzten Schritt integral von f(t)+integral von sin(x) zuzammen addiert ich kann den letzten Schritt nicht verstehen?

Zusammenfassend erhalt man

F(x)= { 0 für x<0 ; 1-cos(x) für 0<=x<=π ; 2 für π<x}

Danke 

Answer 1

Aloha :)

Im letzten Schritt ist ja \(x\ge \pi\). Daher kann man das Integral von \(0\) bis \(x\) aufspalten. Zuerst von \(0\) bis \(\pi\) und dann weiter von \(\pi\) bis \(x\):$$F(x)=\int\limits_0^x f(t)dt=\int\limits_0^\pi f(t)dt+\int\limits_\pi^x f(t)dt$$Durch die Aufspaltung kann man die Definitionsbereiche der Funktion effektiv nutzen. Für \(0\le x\le\pi\) ist \(f(x)=\sin(x)\) und für \(x>\pi\) ist \(f(x)=0\).

$$F(x)=\int\limits_0^\pi \sin(t)dt+\int\limits_\pi^x 0\,dt=-\cos\pi+\cos0+0=2$$

Comments

Danke für ihre Antwort aber können Sie mir bisschen Erklären warum wir für den letzten schritt sin(x) integriert haben ?

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Die Funktion ist definiert als \(f(x)=\sin(x)\), falls \(0\le x\le\pi\). Nach der Aufteilung des Integrals in zwei Integrale, passt der Bereich, in dem die Funktion so definiert ist, exakt mit den Integrationsgrenzen zusammen. Daher kann man für \(f(t)\) dann \(\sin(t)\) einsetzen.

Das gleiche passiert für den Bereich \(x>\pi\), wo die Funktion als \(f(x)=0\) definiert ist. Daher wird beim zweiten Teil-Integral über die \(0\) integriert.

Answer 2

Druckfehler: überall, wo F(x) steht muss F₀(x) stehen, da es offensichtlich um eine bestimmte Integralfunktion mit unterem Wert x=0 geht.

Wenn x≥π heißt das: integriere von 0 bis x, also von 0 bis π und dann noch von π bis x.

Das Ergebnis für den ersten Schritt ist 2, für den zweiten 0, weil für x>π die Fkt=0 bleibt.

Comments

Danke für ihre Antwort aber können Sie mir bisschen Erklären warum wir für den letzten schritt sin(x) integriert haben ?

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weil die Funktion im Bereich von 0 bis π    sin(x) ist