Ableitung der Kraft berechnen

Question

Aufgabe:

Die Kraft F ist ja F=m*a und der Impuls p ist ja p=m*v

Durch die Ableitung des Impulses kommt man ja auf die Kraft :

F = \( \frac{dp}{dt} \) = \( \frac{d(m*v)}{dt} \) = m* \( \frac{dv}{dt} \) = m*a

Nun zu meinem Problem :

m*  \( \frac{dv}{dt} \) ist ´ja eig. m*s \( \frac{d(1/t)}{dt} \) = m*s * -\( \frac{1}{t^{2}} \) = m* -\( \frac{s}{t^{2}} \) was ja dann eigentlich ergibt :

m* -\( \frac{s}{t^{2}} \) = m*(-a)
Wo liegt mein Fehler ?
Danke

Answer 1

Aloha :)

Die Strecke \(s\) ist nicht konstant. Bei der Messung der Geschwindigkeit wird die zurückgelegte Strecke \(\Delta s\) durch die dafür benötigte Zeit \(\Delta t\) dividiert, was infinitesimal dann \(ds\) durch \(dt\) ergibt. Daher gilt:$$v'(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{ds}{dt}=\frac{d^2}{dt^2}s=s''(t)$$

Comments

Den Schritt kann ich nachvollziehen :

Ich muss also wenn ich das v nach t ableite , zwei Brüche dort stehen haben : 1/t und s/t

Was ich lediglich nicht verstehe ist, wie du auf diesen Schritt kommst :

Danke dir

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Müsste es nicht eigentlich sein :

\( \frac{d v}{d t} \) = \( \frac{d \frac{1}{t}}{d t} \)\( \frac{d s}{d t} \) ?

Wenn man das v in s/t aufteilt : \( \frac{d v}{d t} \) = \( \frac{d (\frac{s}{t})}{d t} \)

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Die Ableitung von \(s\) nach \(t\) kann man schreiben als:$$\frac{d}{dt}\,s\quad\text{oder}\quad\frac{ds}{dt}$$Die zweite Ableitung von \(s\) nach \(t\) ist dann:$$\frac{d}{dt}\,\frac{d}{dt}\,s\quad\text{oder}\quad\frac{d}{dt}\,\frac{ds}{dt}\quad\text{oder}\quad\frac{d^2}{dt^2}\,s\quad\text{oder}\quad\frac{d^2s}{dt^2}$$Das sind alles nur andere symbolische Schreibweisen für die zweite Ableitung.