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Aufgabe:

Mathe Blatt 2.PNG

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Aufgabe 5 (Pflichtaufgabe) Ein Objekt mit Gewicht \( G>0 \) soll an einem Seil über eine horizontale Ebene gezogen werden. Hat das Seil den Winkel \( \varphi \) zur Ebene, so ist die aufzuwendende Kraft \( F \) gegeben durch
$$ F:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}, \quad F(\varphi)=\frac{\mu G}{\mu \sin (\varphi)+\cos (\varphi)} $$
Dabei ist \( \mu>0 \) eine positive Konstante (der Reibungskoeffizient).
Bestimmen Sie den Winkel \( \varphi \in[0, \pi / 2] \), für den die Kraft minimal ist.
Hinweis: Es gilt
$$ \cos (\arctan (x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \quad \text { und } \quad \sin (\arctan (x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$


Problem/Ansatz:

Wäre sehr nett wenn ihr eure Lösungsmethode zu dieser Aufgabe mit mir teilen würdest, hätte gerne was zum abgleichen.

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1 Antwort

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Aloha :)

In dem Austruck$$F(\varphi)=\frac{\mu G}{\mu\sin(\varphi)+\cos(\varphi)}$$ist der Zähler konstant. Er wird daher minimal, wenn der Nenner maximal wird:$$0\stackrel!=\frac{d}{d\varphi}\left(\mu\sin(\varphi)+\cos(\varphi)\right)=\mu\cos\varphi-\sin\varphi$$

Jetzt folgen wir der Bedienungsanleitung der Aufgabe und setzen \(\varphi=\arctan(x)\):$$0=\mu\cos(\arctan(x))-\sin(\arctan(x))=\mu\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}-x\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$multiplizieren die Gleichung mit \(\sqrt{1+x^2}\) und sind fertig:$$0=\mu-x\implies x=\mu\implies\varphi=\arctan(\mu)$$Da \(\mu\) positiv ist, gillt \(\varphi\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)

Avatar von 152 k 🚀

Jetzt folgen wir der Bedienungsanleitung

Man sollte niemals blind folgen, besonders dann nicht, wenn es anders einfacher geht.

Du meinst sicher die naheliegende Rechnung mit Division der Gleichung durch \(\cos\varphi\):$$0=\mu\cos\varphi-\sin\varphi\implies0=\mu-\tan\varphi\implies\varphi=\arctan(\mu)$$

Aber dann hätten wir den Hinweis nicht genutzt. Wir wissen ja nicht genau, was in der Vorlesung dran war und was gerade Schwerpunkt-Thema ist. Deswegen habe ich den Hinweis mit in die Antwort eingebaut ;)

Mit einem   Hinweis wird üblicherweise nicht das Beschreiten eines bestimmten Lösungsweges zwingend vorgeschrieben.

Stimmt auch wieder...

Nun hat dilbirin2 ja beide Varianten, die kurze und die mit dem Hinweis. Er kann sich also aussuchen, welche er nehmen möchte.

Danke an euch alle !

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