Bestimmen Sie den Winkel \varphi \in[0, \pi / 2] , für den die Kraft minimal ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 5 (Pflichtaufgabe) Ein Objekt mit Gewicht \( G>0 \) soll an einem Seil über eine horizontale Ebene gezogen werden. Hat das Seil den Winkel \( \varphi \) zur Ebene, so ist die aufzuwendende Kraft \( F \) gegeben durch
$$ F:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}, \quad F(\varphi)=\frac{\mu G}{\mu \sin (\varphi)+\cos (\varphi)} $$
Dabei ist \( \mu>0 \) eine positive Konstante (der Reibungskoeffizient).
Bestimmen Sie den Winkel \( \varphi \in[0, \pi / 2] \), für den die Kraft minimal ist.
Hinweis: Es gilt
$$ \cos (\arctan (x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \quad \text { und } \quad \sin (\arctan (x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$

Problem/Ansatz:

Wäre sehr nett wenn ihr eure Lösungsmethode zu dieser Aufgabe mit mir teilen würdest, hätte gerne was zum abgleichen.

Answer 1

Aloha :)

In dem Austruck$$F(\varphi)=\frac{\mu G}{\mu\sin(\varphi)+\cos(\varphi)}$$ist der Zähler konstant. Er wird daher minimal, wenn der Nenner maximal wird:$$0\stackrel!=\frac{d}{d\varphi}\left(\mu\sin(\varphi)+\cos(\varphi)\right)=\mu\cos\varphi-\sin\varphi$$

Jetzt folgen wir der Bedienungsanleitung der Aufgabe und setzen \(\varphi=\arctan(x)\):$$0=\mu\cos(\arctan(x))-\sin(\arctan(x))=\mu\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}-x\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$multiplizieren die Gleichung mit \(\sqrt{1+x^2}\) und sind fertig:$$0=\mu-x\implies x=\mu\implies\varphi=\arctan(\mu)$$Da \(\mu\) positiv ist, gillt \(\varphi\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)

Comments

Jetzt folgen wir der Bedienungsanleitung

Man sollte niemals blind folgen, besonders dann nicht, wenn es anders einfacher geht.

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Du meinst sicher die naheliegende Rechnung mit Division der Gleichung durch \(\cos\varphi\):$$0=\mu\cos\varphi-\sin\varphi\implies0=\mu-\tan\varphi\implies\varphi=\arctan(\mu)$$

Aber dann hätten wir den Hinweis nicht genutzt. Wir wissen ja nicht genau, was in der Vorlesung dran war und was gerade Schwerpunkt-Thema ist. Deswegen habe ich den Hinweis mit in die Antwort eingebaut ;)

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Mit einem   Hinweis wird üblicherweise nicht das Beschreiten eines bestimmten Lösungsweges zwingend vorgeschrieben.

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Stimmt auch wieder...

Nun hat dilbirin2 ja beide Varianten, die kurze und die mit dem Hinweis. Er kann sich also aussuchen, welche er nehmen möchte.

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Danke an euch alle !