Question

Bestimmen Sie in C die neutralen und die inversen Elemente bzgl. Addition und Multiplikation.

Answer 1

Add: 0+z=z, also neutr Element = 0

-z + z = 0, also inv. Element zu a+ib: -a-ib

Mult: 1*z=z, also neutr Element=1

inv: (a*+ib*)(a+ib)=1 lösen!

a*a-b*b + iab*+ia*b =1

(a*a-b*b) + i(ab*+a*b) =1+0i

a*a-b*b=1,                    ab*+a*b=0 ⇒  a*=-ab*/b eingesetzt:

-ab*/b · a   - b*b = 1

b*(-a²/b - b)=1

b*(-a²-b²)/b = 1

b* = -b/(a²+b²) in 4 Zeilen oberhalb:

a* = -a ·(-b)/(a²+b²) /b = a/(a²+b²)

also: das inv. von a+ib heißt a/(a²+b²) - i b/(a²+b²) = (a-ib) / (a²+b²)

In der Aufgabe geht es offensichtlich nur um das Ausrechnen der Elemente.

Da ℂ ein Körper ist gilt:

neutrales Element = linksneutrales Element = rechtsneutrales Element

inverses Element = linksinverses Element = rechtsinverses Element

Comments

Und so lange Du die Kommutativität nicht bewiesen hast, musst Du Links- und Rechtsneutrales, sowie Links- und Rechtsinverses beweisen.

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Die Gültigkeit der Körperaxiome werden vorausgesetzt, sonst dürte ich gar nichts rechnen, da dauernd das Distr.gesetz, Ass.gesetz usw. benutzt werden. Beim Gleichungsumformen müssen auch Sätze über Körper benutzt werden. Also setze ich voraus, dass alle Sätze über Körper bekannt sind.

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Du benutzt aber nur die Körperaxiome der reellen Zahlen. Die der komplexen Zahlen müssen erst bewiesen werden (und damit ist auch noch gar nicht sicher, ob die komplexen Zahlen überhaupt ein Körper sind, wie Du behauptest.)

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Dein erster Satz ist falsch, da i komplex ist.

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Du hast hier recht. Das macht Deinen Beweis aber noch schlimmer, weil Du Eigenschaften der komplexen Zahlen benutzt, die Du überhaupt (noch) nicht voraussetzen darfst.

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Dein zweiter Satz ist falsch: Wenn ich in einem Körper rechnen soll, setze ich die Gültigkeit der Körperaxiome voraus. Beispiel: Wenn ich eine Gleichung in ℝ lösen soll, setze ich das Ass.gesetz beim Rechnen voraus.

Über Axiome nachdenken ist ein anderes Thema, zum Beispiel hier:

https://www.mathelounge.de/676246/halbgruppen-gruppen-beweis

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So lange Du die Inversen und die Neutralen nicht bewiesen hast, hast Du keinen Körper. Du setzt C einfach als Körper voraus, weil Du es so weißt, das ist hier aber nirgends gegeben, und aus der Aufgabe kannst Du es auch nicht annehmen.