Konvergenz und Divergenz von Reihe

Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^{2}}{3^{n}} \)
(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^{n}}{(-3)^{n+1}} \)
(c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{5 n^{5}+4 n^{4}+3 n^{3}+2 n^{2}+n+1} \)

Answer 1

Hallo

1. Quotientenkriterium

2. alternierende Reihe, untersuche ob die Summanden eine Nullfolge bilden.

3. Majorantenkriterium, es ist leicht eine Reihe mit größeren Summanden zu finden, die konvergiert.

Gruß lul

Comments

vielen dank :D

Answer 2

Hallo,

Aufgabe a) Quotientenkriterium

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}} \)

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \quad \) allgernein

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(n+1)^{2}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^{n}}{n^{2}}\right) \)

 \( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3^{n}}{3^{n} \cdot 3^{1}} \cdot \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\right) \)

\( =\frac{1}{3} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{1}{3}<1 \)
konvergiert

Comments

vielen dank könnten sie mir die b und c vorrechnen :/ bin nicht sicher ob ich richtig mit den lösungen liege