Q-Dimension: Wn := {w ∈ C : w^n = 1}. Ln bezeichne die Q-lineare Hülle von Wn im Q-Vektorraum C.

Question

 

wir sitzen gerade zu fünft an einer Aufgabe und keiner hat einen Ansatz. Könnt ihr uns hier weiterhelfen? 

Für eine natürliche Zahl n ≥ 2 sei Wn := {w ∈ C : wⁿ = 1}. Ferner bezeichne Ln die Q-lineare Hülle von Wn im Q-Vektorraum C.

(a) Zeigen Sie, dass die Q-Dimension von Ln höchstens gleich n − 1 ist.
(b) Berechnen Sie die genaue Dimension von Ln in den Fällen n = 3 und n = 4.
Hinweis:  Für jedes z ∈ C ist zⁿ − 1 = (z^n-1+ . . . + z + 1)(z − 1)

 

danke im Voraus  

Comments

Überlegt auch wie die Elemente von Wn aussehen.

Hier kann eine Zeichnung sehr nützlich sein.


Wie viele Elemente hat Wn?

Zur Dimensionsbestimmung hilft der Hinweis. (Stichwort: linear unabhängig)

---

Bitte konkrete Lösung! :D

---

Also die Elemente von Wn müssten ja von der Form cos(2π)+i sin(π) sein. wie bestimmt man jetzt wie viele es sind?

---

Ist wohl eher als Kommentar als als Antwort gemeint. (?)

---

Ja, tut mir Leid, bin neu hier ;)  war ja auch eher eine Frage

---

Hmm also ich häng immer noch aufm schlauch

---

Sind C die komplexen und Q die rationalen Zahlen?

Answer 1

(a): \(W_n\) besteht aus allen Potenzen einer primitiven \(n\)-ten
Einheitswurzel \(\rho\):

\(W_n=\{1,\rho,\cdots,\rho^{n-1}\}\). Wegen

\(0=\rho^n-1=(\rho-1)(\rho^{n-1}+\cdots+\rho+1)\) und \(\rho\neq 0\) gilt dann

\(\rho^{n-1}+\cdots+\rho+1=0\), d.h. das Erzeugendensystem

\(\{1,\rho,\cdots,\rho^{n-1}\}\)  von \(L_n\) ist linear abhängig, folglich

\(\dim(L_n)\leq n-1\).

(b): Es ist \(W_3=\{1,\rho,\rho^2\}\) mit \(\rho^2+\rho+1=0\),

also \(\rho=1/2(-1\pm i\sqrt{3})\).

\(L_3\) wird von \(\{1,i\sqrt{3}\}\) Q-linear erzeugt und diese Menge ist

linear unabhängig über Q, folglich \(\dim(L_3)=2\).

Es ist \(W_4=\{1,i,-1,-i\}\). Daher wird \(L_4\) von den beiden Q-linear

unabhängigen \(1,i\) aufgespannt, folglich \(\dim(L_4)=2\).