Beweis mit invertierbaren Matrizen

Question

Hallo :)

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe. Ich habe leider gar keinen Ansatz wie man die Beweise beginnt und dann auch richtig aufschreibt. Ich denke es ist nicht schwer, aber mir fehlt einfach ein Ansatz dafür.

Vielen Dank

Sei K ein Körper und n ∈N0.

Sei GLn(K) ⊆ Kn×n die Menge der invertierbaren n×n-Matrizen mit Einträgen in K.

Z.z.

(i) En ∈ GLn(K)

(ii) S ∈ GLn(K) ⇒ S−1 ∈ GLn(K)

(iii) S,T ∈ GLn(K) ⇒ S ·T ∈ GLn(K).

Comments

Soll das \( S^{-1} \) oder \( S - 1 \) heissen?

Answer 1

Zu (a)

$$  E_n E_n = E_n $$ Also ist \( E_n \) invers zu \( E_n \) und somit gilt \( E_n \in \mathbb{GL_n(K)} \)

zu (b)

Da \(  S \in \mathbb{GL_n(K)} \) ex. \( S^{-1} \) und wegen $$  E_n =  ( S S^{-1} )^{-1} = ( S^{-1} )^{-1} S^{-1}  $$ gilt \( S = ( S^{-1} )^{-1} \) also ist \( S \) invers zu \( S^{-1} \) und damit \( S^{-1} \in \mathbb{GL_n(K)} \)

zu (c)

Es gilt $$  E_n = S T T^{-1} S^{-1} $$ Damit ist \( S T \) invertierbar

Comments

Ja es sollte S^-1 heißen.

Danke für die schnelle Antwort. Das hilft mir sehr weiter und ich weiß jetzt auch was gemacht werden sollte.