Skalarprodukt Vektoren

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren:

a=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \), b=\( \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} \)

mit a₁||b (parallel) und a₂⊥b (senkrecht). Bestimmen Sie die Zerlegung a=a₁+a₂.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, wenn a₁ parallel zu b dann a₁=r*b , und a₂*b=0 wegen senkrecht, a₂=a-a₁, komme aber nicht weiter_.

Answer 1

Aloha :)

Mit Hilfe des Skalarproduktes kannst du den Vektor \(\vec a\) auf den Vektor \(\vec b\) projezieren. Das Ergebnis ist der zu \(\vec b\) parallele Anteil$$\vec a_\parallel=\frac{\vec a\cdot\vec b}{b^2}\cdot\vec b=\frac{\left(\begin{array}{c}1\\0\\-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-3\\1\\0\end{array}\right)}{(-3)^2+1^2+0^2}\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\1\\0\end{array}\right)=\frac{-3}{10}\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{9}{10}\\-\frac{3}{10}\\0\end{array}\right)$$Der senkrechte Anteil dazu ist nun:$$\vec a_\perp=\vec a-\vec a_\parallel=\left(\begin{array}{c}1\\0\\-2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{9}{10}\\-\frac{3}{10}\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{10}\\\frac{3}{10}\\-2\end{array}\right)$$

Zum Verständnis: \(\vec a\cdot\vec b^0\) ist die "Länge des Schattens" (streng genommen, die Projektion), die der Vektor \(\vec a\) auf den Vektor \(\vec b\) wirft. Dieser Länge muss dann noch die Richtung des Vektors \(\vec b^0\) gegeben werden, um den parallelen, vektoriellen Anteil zu erhalten: \(\left(\vec a\cdot\vec b^0\right)\cdot\vec b^0\). Anstatt der Multiplikation mit dem Einheitsvektor \(\vec b^0\) habe ich oben mit dem Vektor \(\vec b\) multipliziert, dafür aber durch dessen quadrierte Länge \(b^2\) dividiert (weil wir ja 2 Multiplikationen mit \(\vec b^0\) benötigen).

Comments

Vielen Dank das Ergebnis ist richtig , aber können sie villeicht sagen was projezieren ist? LG

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Schau mal, ich habe meine Antwort noch ergänzt... Hilft dir das weiter?

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gilt das auch fall |a|>|b| also ich meine wenn die Länge von a > als die Länge b ist? danke

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Ja, "der Schatten" bzw. die Projektion von \(\vec a\) kann auch über den Vektor \(\vec b\) hinausragen. Immer wenn du einen Vektor mit einem Einheitsvektor multiplizierst, berechnest du den Schattenwurf des Vektors auf diesen Einheitsvektor. Das ist, wenn man so will, die geometrische Bedeutung des Skalarproduktes.

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Ich wünsche Ihnen einen schönen Abend . Vielen Dank.

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Danke schön... Hat mir Spaß gemacht, zu helfen.

Dir auch einen schönen Abend \o/