Extremwertproblem: Achsensymmetrisches Rechteck zwischen zwei Parabeln

Question

Aufgabe:

Die Funktionen f und g mit f(x) = 4 - 0,25x² und g(x) 0,5x^2 -2 begrenzen eine Fläche, in
der ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck ABCD liegt. A und B liegen auf dem Graphen von f,
die Punkte C und D auf dem Graphen von g.

Das Rechteck soll einen möglichst großen Flächeninhalt haben. Beschriften Sie die Skizze
und stellen Sie die Zielfunktion mithilfe der Funktionsgleichungen von f und g auf.

Problem/Ansatz:

h.bedingung: A(x,y)= 2x x y

Bei der Nebenbedingung weiß ich nicht weiter. Die Länge des Rechtecks ist 2x und bei der Höhe wollte ich jetzt einfach g(x) nehmen aber ich bin mir nicht sicher

Comments

Aber ich hatte ja eine komplett andere Frage oder soll man das unter die Frage selbst schreiben?

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Schreibe deine Frage am besten unter eine der vorhandenen Antworten, vorausgesetzt, deine Frage ist nicht schon in einer der "ähnlichen Fragen" (Rubrik unten) beantwortet wurde.

Hast du das jetzt hier schon nochmals gefragt?

Answer 1

A = 2·x·(f(x) - g(x))

Ich mache gleich noch etwas mehr

A = 2·x·((4 - 0.25·x^2) - (0.5·x^2 - 2))

A = 2·x·(6 - 0.75·x^2)

A = 12·x - 1.5·x^3

A' = 12 - 4.5·x^2 = 0 --> x = 2/3·√6 = 1.633

Skizze

~plot~ 4-0.25*x^2;0.5*x^2-2;x=1.633;x=-1.633;3.333;-0.667 ~plot~

Comments

Warum f(x) - g(x)

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f(x) - g(x) ist die höhe des Rechtecks an der Stelle x.

Siehe dazu auch die Skizze.

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Vielen Dank, darf ich mal fragen wie du anhand der Aufgabe immer direkt sehen kannst , was man jetzt machen muss :).

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Er hat Ahnung.

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Eine Skizze ( der Graph ) wirkt sehr oft
sehr erhellend.

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Das ist nur etwas Übung.

Weil ich geübt bin bekomme ich deswegen für die gleichen Aufgaben aber auch nur 1/3 der Zeit die Schüler bekommen.

Oder wenn ich eine Aufgabe in 10 Minuten löse darf ein ungeübter Schüler 30 Minuten benötigen.

Was dir hilft ähnliche Übung zu bekommen ist dir viele Skizzen wie meine obige zu machen. Vermutlich wurde die sogar auch für dich schon halb angefertigt.

Um Terme zusammenzufassen, Ableitungen zu bilden und Gleichungen zu lösen könntest du dir Hilfe von Apps wie Photomath besorgen. Durch die App sind viele meiner Schüler schon viel Selbständiger und besser geworden. Bedingung ist das man sie nur zur Kontrolle benutzt und nie nur um die Lösung abzuschreiben.

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A = 2·x·((4 - 0.25·x2) - (0.5·x2 - 2))

Habe hier eine Frage: Wie kommst du auf 2x ( 6 - 0.75x²⁾

Ich komme auf 2x ( -0.75x² +2 )

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Du solltest dir mal Photomath installieren, wenn du Probleme beim Zusammenfassen von Termen hast.

A = 2·x·((4 - 0.25·x^2) - (0.5·x^2 - 2))

A = 2·x·(4 - 0.25·x^2 - 0.5·x^2 + 2)

A = 2·x·(4 + 2 - 0.25·x^2 - 0.5·x^2)

A = 2·x·(6 - 0.75·x^2)

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Ja genau ich verstehe den Teil nicht wo von der -2 eine +2 wird, die du dann mit der 4 addierst ganz am anfang

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Auflösen einer Klammer mit einem Minus davor

- (0.5·x^2 - 2)

Das kannst du dir auch vorstellen als

-1 * (0.5·x^2 - 2)

Wie löst man diese Klammer nun auf?

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Vorzeichen ändern sich alles klar danke verstanden

Answer 2

Hier die Skizze

Die Höhe des Rechtecks ist die Differenz(funktion)
f = 4 - 0.25*x^2
g = 0.5*x^2 -2
d = f minus g
Die Fläche des Rechtsecks ist
A ( x ) = x * d * 2

Schaffst du die weiteren Berechnungen ?
Ansonsten frage bitte nach.