Wenn du die Symmetrie zum Ursprung überprüfen kannst führe das doch darauf zurück? Lege den Ursprung des Koordinatensystem also in den Punkt (0,3), dann hat die Funktion bzgl des neuen Koordinatensystems die Vorschrift:
$$ \tilde{f}_t(x) = f_t(x-0) - 3 $$
Zeige jetzt \( \tilde f(-x) = - \tilde f(x) \)
b) $$ f'_t(x) = 3x^2 - t^2 = 0 \iff x = \pm \sqrt{\frac{t^2}{3}} $$
\(f''_t\left( \sqrt{\frac{t^2}{3}} \right) = 6\sqrt{\frac{t^2}{3}} > 0 \) also Minimum
\( f''_t\left( -\sqrt{\frac{t^2}{3}} \right) = - 6\sqrt{\frac{t^2}{3}} < 0 \) also Maximum
Der Hochpunkt liegt also einfach bei \( \left( -\sqrt{\frac{t^2}{3}}, f_t\left(-\sqrt{\frac{t^2}{3}}\right) \right) \)
Um den Term zu berechnen verwende \( f_t(x) = x(x^2 - t^2) + 3 \) und setze dann einfach ein.
Die Ortskurve bestimmst du so:
$$ x = - \sqrt{\frac{t^2}{3}} \stackrel{t>0}{\iff} t = - \sqrt{3} x $$
und das setzt du jetzt einfach in \( f_t(x) \) ein. Die Ortskurve ist also
$$ f_{-\sqrt{3}x}(x) = x^3 - 3x^2 \cdot x + 3 = -2x^3 + 3 $$
