Lineare Algebra: Beweis über Basiswechsel

Question

Aufgabe:

Es seien V, W endlich erzeugte K-Vektorraüme und f : V → W linear. Zeigen Sie, dass es Basen X von V und Y von W gibt, sodass die zu f gehörige Matrix A bezüglich dieser Basen die Gestalt

A=\( \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

hat (dabei bezeichnet E die Einheitsmatrix in K^n*n und 0 jeweils Nullmatrizen geeigneten Formates).

Problem/Ansatz: wie beweist man diese Behauptung durch Basiswechsel?

danke für eure Hilfe : )

Comments

Deine Kollegin scheint schon vor Weihnachten an der nächsten Teilaufgabe gesessen zu haben.

Answer 1

Sei A' die Matrix von f bezüglich der Basen X' von V und Y' von W.

A' kann mitels elementarer Zeilen- und Spaltenumformungen auf die Form \(\begin{pmatrix} E&0\\0&0 \end{pmatrix}\) gebracht werden.

Elementare Zeilenumformungen können durchgeführt werden indem mit einer invertierbaren Matrix von links multipliziert wird. Genauer gesagt, kann M durch eine elementare Zeilenumformung zu M' umgeform werden, dann git es eine invertierbare Matrix U mit U·M = M'.

Analoges gilt für elementare Spaltenumformungen und Multiplikation von rechts.

Matrixmultiplikation ist assoziativ und die invertierbaren Matrizen sind abgeschlossen bezüglich Multiplikation

Es gibt also invertierbare Matrizen Z und S, so dass

        Z·A'·S = A

ist.

Jede invertierbare Matrix kann als Basiswechelmatrix zu einer geeigneten Basen aufgefasst werden.

Sei X die Basis, so dass Z die Basiswechelmatrix von X' nach X ist und Y die Basis, so dass S die Basiswechelmatrix von Y' nach Y ist.

Dann ist A die Matrix von f bezüglich X und Y.