Funktionsscharen: Ortskurven von Nullstellen und Extrema

Question

Gegeben sind fa und ga mit Fa(x)=1/6x³ -a²/4*x² und ga(x)=-1/a*x²+ 3a/2*x (a>0).

a) Zeigen Sie, dass die Nullstellen von fa und ga für alle a>0 übereinstimmen.

b)Bestimmen Sie die Hochpunkte der Graphen von ga in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie, für welche Werte von a der Hochpunkt der Graphen von ga oberhalb der Geraden g mit g(x)=4,5 liegt.

c)Berechnen sie die Hochpunkte und Tiefpunkte von fa sowie die Ortskurve der Tiefpunkt

Answer 1

fa(x) = 1/6·x^3 - a^2/4·x^2

ga(x) = -1/a·x^2 + 3·a/2·x

a)

Nullstellen

fa(x) = 1/6·x^3 - a^2/4·x^2 = 0 --> x = 1.5·a^2 ∨ x = 0

ga(x) = -1/a·x^2 + 3/2·a·x = 0 --> x = 1.5·a^2 ∨ x = 0

b)

ga'(x) = 1.5·a - 2/a·x = 0 --> x = 0.75·a^2

ga(0.75·a^2) = 0.5625·a^3 → HP(0.75·a^2 | 0.5625·a^3)

0.5625·a^3 > 4.5 --> a > 2

Versuche obiges erstmal nachzuvollziehen und zu verstehen.

Comments

Ist das egal mit welcher Zahl multipliziert wird also bei a ?

---

Du sollst bei a) nach x auflösen. Da muss man man nicht mal multiplizieren

Wie löst du folgende Gleichung nach x auf?

1/6·x^3 - a^2/4·x^2 = 0

---

ich würde ausklammern also x² * (1/6x-a²/4) aber weiß nicht so richtig

---

1/6·x^3 - a^2/4·x^2 = 0
x^2 * ( 1/6 * x - a^2 / 4 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x^2 =  0  => x = 0
N ( 0 | 0 )

und
1/6 * x - a^2 / 4 = 0
1/6 * x = a^2 / 4
x = 6/4 * a^2
N (  6/4 * a^2  | 0 )