Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit z^{5} = 4+3 i

Question

2.3 Stellen Sie \( p(x)=x^{5}-1 \) als Produkt quadratischer und linearer reeller Polynome
dar und bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen.

2.4 Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen \( z \) mit \( z^{5}=4+3 i \).

Hinweis: Bei Angabe der Lösungen in der Form \( a+b i \), mit \( a, b \in \mathbb{R} \), können Sie \( a \) und \( b \) auch approximieren (z.B. bis auf drei Nachkommastellen genau).

Ich studiere seit kurzem Physik und komme bei folgenden zwei Übungsaufgaben nicht weiter. Könnte mir vielleicht jemand das einmal vorrechnen damit ich es nach vollziehen kann. Die Lösung hat wohl irgendwie mit der Formel von Moivre zu tun aber ich werde da einfach nicht schlau draus.

Comments

Du musst da alle 5. Wurzeln aus 1 resp. aus 4 + 3i berechnen.

Du kannst auch die Formeln hier nutzen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Basiert auf dem Berechnen der Quadratwurzel. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel#Definition

Kontrolle via https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E5+%3D+1

Answer 1

x^5 - 1
= (x - 1)·(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Ansatz
(x^2 + a·x + 1)·(x^2 + b·x + 1) = x^4 + (a + b)·x^3 + (a·b + 2)·x^2 + (a + b)·x + 1

Ein Koeffizientenvergleich liefert nun:

= (x - 1)·(x^2 + x·(1/2 - √5/2) + 1)·(x^2 + x·(1/2 + √5/2) + 1)

Die komplexen Nullstellen zu bestimmen ist jetzt relativ einfach.

x = - √5/4 - 1/4 - i·√(10 - 2·√5)/4
x = - √5/4 - 1/4 + i·√(10 - 2·√5)/4
x = √5/4 - 1/4 - i·√(2·√5 + 10)/4
x = √5/4 - 1/4 + i·√(2·√5 + 10)/4
x = 1