Berechnung ob sich Pfade in 2 Dimensionalen Koordinatensystem kreuzen

Question

Aufgabe:

Berechnen sie ob und an welchem Punkt sich zwei Pfade A1 zu A2 und B1 zu B2 kreuzen.

Es handelt sich um ein zwei Dimensionales Koordinatensystem.

Angaben A1(X140 Y180)  A2(X140 Y30) B1(X30 Y100) B2(X200 Y85)

Problem/Ansatz:

Mit welcher Methode berechnet man so etwas?

Answer 1

Aloha :)

Beim ersten Pfad bleibt die \(x\)-Koordinate fest bei \(140\). Die Steigung des Pfades ist daher \(\infty\) und wir können ihn nicht in Form einer "gewöhnlichen" Geradengleichung angeben. Wir wissen jedoch, dass$$x_A=140\quad;\quad y_A\in[30;180]$$Für den zweiten Pfad können wir eine Geradengleichung aus der allgemeinen 2-Punkte-Form bestimmen:

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$$$\frac{y-100}{x-30}=\frac{85-100}{200-30}$$$$\frac{y-100}{x-30}=-\frac{3}{34}$$$$y-100=-\frac{3}{34}(x-30)$$$$y=-\frac{3}{34}(x-30)+100$$$$y=-\frac{3}{34}x+\frac{3490}{34}$$Der zweite Pfad kann also durch die folgende Gerade beschrieben werden:$$y_B=-\frac{1}{34}\left(3x-3490\right)\quad;\quad x_B\in[30;200]$$Die \(y\)-Koordinate des zweiten Pfades an der Stelle \(140\) ist: \(y_B(140)=\frac{3070}{34}\approx90,3\).  Der zweite Pfad enthält also den Punkt \((140|90,3)\). Dieser Punkt ist ebenso im ersten Pfad enthalten. Damit haben wir unseren Schnittpunkt gefunden.

~plot~ x=140 ; -1/34*(3x-3490); [[30|200|30|120]] ~plot~

Answer 2

A₁(140|180)  A₂(140|30)

B₁(30|100) B₂(200|85)

A₁A₂ verläuft parallel zur x-Achse.

B₁B₂ verläuft nicht parallel zur x-Achse.

Also kreuzen sie sich.