Aloha :)
Die "Definitionsgleichung" für die gesuchte Funktion \(f\) ist gegeben:$$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$$
Wir setzen das Wertepaar \((a,b)=(0,z+1)\) mit beliebigem \(z\in\mathbb{Z}\) ein:
$$f(2\cdot0)+2f(z+1)=f(f(0+(z+1)))$$$$f(0)+2f(z+1)=f(f(z+1))$$Wir setzen das Wertepaar \((a,b)=(1,z)\) mit demselben \(z\) wie gerade eben ein:
$$f(2\cdot1)+2f(z)=f(f(1+z)))$$$$f(2)+2f(z)=f(f(1+z)))$$Da die beiden rechten Seiten gleich sind, können wir die Verschachtelung von \(f\) wie folgt auflösen:
$$\left.f(0)+2f(z+1)=f(f(z+1))=f(2)+2f(z)\quad\right|\,-2f(z)$$$$\left.f(0)+2f(z+1)-2f(z)=f(2)\quad\right|\,-f(0)$$$$\left.2f(z+1)-2f(z)=f(2)-f(0)\quad\right|\,:2$$$$\left.f(z+1)-f(z)=\frac{f(2)-f(0)}{2}\quad\right.$$
Links steht die Differenz von 2 aufeinanderfolgenden Funktionswerten (zur Erinnerung, \(z\in\mathbb{Z}\) war beliebig gewählt). Rechts steht eine Konstante. Daher muss \(f(z)\) eine lineare Funktion sein:
$$f(z)=p\cdot z+q$$Das können wir in die "Definitionsgleichung" von oben einsetzen:$$\underbrace{p\cdot2a+q}_{=f(2a)}+2\underbrace{(p\cdot b+q)}_{=f(b)}=f\left(\underbrace{p\cdot(a+b)+q}_{=f(a+b)}\right)=\underbrace{p\cdot\overbrace{(p\cdot(a+b)+q)}^{f(a+b)}+q}_{=f(f(a+b))}$$$$2pa+q+2pb+2q=p^2(a+b)+pq+q$$$$2p(a+b)+3q=p^2(a+b)+pq+q$$$$2p(a+b)+2q=p^2(a+b)+pq$$Da \(a\) und \(b\) aber völlig beliebig sein können, die beiden Seiten der Gleichung aber in jedem Fall identisch sein müssen, muss gelten:$$2p=p^2\quad\land\quad2q=pq$$
1. Lösung: \(p=0\;\;\Rightarrow\;\;q=0\;\;\Rightarrow\;\;f(z)=0\)
2. Lösung: \(p=2\;\;\Rightarrow\;\;q\in\mathbb{Z}\text{ beliebig}\;\;\Rightarrow\;\;f(z)=2z+q\;\;;\;\;q\in\mathbb{Z}\)
