f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)) mit a,b aus Z

Question

ich sitze schon den ganzen Abend an einer scheinbar simplen Aufgabe, stochere mehr rum als ich rechne und habe auch keine zündende Idee. Vielleicht weiß hier ja jemand Rat?

    Problem:

    Bestimme alle Funktionen f:Z->Z so, dass für alle ganze Zahlen a und b gilt:

    f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))

Mich stört besonders die Verschachtelung der Funktion auf der rechten Seite...

Ich probiere noch weiter rum, wenn ich noch was rauskriege, poste ich es hier.

Danke schon mal für jede Hilfe

Emil

Answer 1

Aloha :)

Die "Definitionsgleichung" für die gesuchte Funktion $f$ ist gegeben:$$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$$

Wir setzen das Wertepaar $(a,b)=(0,z+1)$ mit beliebigem $z\in\mathbb{Z}$ ein:

$$f(2\cdot0)+2f(z+1)=f(f(0+(z+1)))$$$$f(0)+2f(z+1)=f(f(z+1))$$Wir setzen das Wertepaar $(a,b)=(1,z)$ mit demselben $z$ wie gerade eben ein:

$$f(2\cdot1)+2f(z)=f(f(1+z)))$$$$f(2)+2f(z)=f(f(1+z)))$$Da die beiden rechten Seiten gleich sind, können wir die Verschachtelung von $f$ wie folgt auflösen:

$$\left.f(0)+2f(z+1)=f(f(z+1))=f(2)+2f(z)\quad\right|\,-2f(z)$$$$\left.f(0)+2f(z+1)-2f(z)=f(2)\quad\right|\,-f(0)$$$$\left.2f(z+1)-2f(z)=f(2)-f(0)\quad\right|\,:2$$$$\left.f(z+1)-f(z)=\frac{f(2)-f(0)}{2}\quad\right.$$

Links steht die Differenz von 2 aufeinanderfolgenden Funktionswerten (zur Erinnerung, $z\in\mathbb{Z}$ war beliebig gewählt). Rechts steht eine Konstante. Daher muss $f(z)$ eine lineare Funktion sein:

$$f(z)=p\cdot z+q$$Das können wir in die "Definitionsgleichung" von oben einsetzen:$$\underbrace{p\cdot2a+q}_{=f(2a)}+2\underbrace{(p\cdot b+q)}_{=f(b)}=f\left(\underbrace{p\cdot(a+b)+q}_{=f(a+b)}\right)=\underbrace{p\cdot\overbrace{(p\cdot(a+b)+q)}^{f(a+b)}+q}_{=f(f(a+b))}$$$$2pa+q+2pb+2q=p^2(a+b)+pq+q$$$$2p(a+b)+3q=p^2(a+b)+pq+q$$$$2p(a+b)+2q=p^2(a+b)+pq$$Da $a$ und $b$ aber völlig beliebig sein können, die beiden Seiten der Gleichung aber in jedem Fall identisch sein müssen, muss gelten:$$2p=p^2\quad\land\quad2q=pq$$

1. Lösung: $p=0\;\;\Rightarrow\;\;q=0\;\;\Rightarrow\;\;f(z)=0$

2. Lösung: $p=2\;\;\Rightarrow\;\;q\in\mathbb{Z}\text{ beliebig}\;\;\Rightarrow\;\;f(z)=2z+q\;\;;\;\;q\in\mathbb{Z}$

Comments

Vielen Dank, super verständlich erklärt.