Funktion n-te Ableitung von f(x):= 3/(2x -1)?

Question

Aufgabe:

$$ f: \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{2}\right\} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{3}{2 x-1} $$

gesucht ist die Formel für die n-te Ableitung f⁽ⁿ⁾  von f (für n ∈ ℕ).

:)

Answer 1

Schreibe f(x)=3*(2x-1)^-1

Berechne die ersten zwei oder drei Ableitungen mit der Kettenregel und erkenne das Schema.

Stelle dann als Vermutung eine Formel für die n-te Ableitung auf (dazu benötigst du Terme wie (-1)ⁿ und n! ) und beweise diese mit vollständiger Induktion.

Comments

$$ \begin{aligned} &f(x)=\frac{3}{2 x-1}\\ &f^{\prime}(x)=-\frac{6}{(2 \cdot x-1)^{2}}\\ &f^{\prime \prime}(x)=\frac{24}{(2 \cdot x-1)^{3}}\\ &f^{\prime \prime \prime}(x)=-\frac{144}{(2 \cdot x-1)^{4}}\\ &f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{1152}{(2 \cdot x-1)^{5}} \end{aligned} $$

Ich erkenne leider das Schema nicht kannst du mir weitere Tipps geben? Danke

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Der Nenner sollte doch klar sein, oder?

Dass der Gesamtbruch einen ständigen Vorzeichenwechsel hat, wohl auch?
(Woher kommt der nur?)

Multiplizierte den Zähler nicht aus, lass die Faktoren stehen!

Zähler der ersten Ableitung:  3*2

Zähler der zweiten Ableitung:  3*2*2*2

Dritte Ableitung: Erneut kommt aus der inneren Ableitung ein Faktor 2 dazu.

Zusätzlich noch ein Faktor 3. Woher?

Zähler der dritten Ableitung ist also :  3*2*2*2*2*3

Zähler der vierten Ableitung:  3*2*2*2*2*2*3*4

Zähler der fünften Ableitung:  3*2*2*2*2*2*2*3*4*5

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Danke dir.

Also die gesuchte Formel sieht so aus?:

$$ (-1)^{n} \frac{3 \cdot 2^{n} \cdot n !}{(2+-1)^{n+1}} $$

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Das + im Nenner in der Klammer soll natürlich ein x sein.

Und dann kann man noch (-1)ⁿ*2ⁿ zu (-2)ⁿ zusammenfassen.

Ansonsten super. Auch die Erklärung mit den Faktoren in rot und blau übrigens.