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Aufgabe:

Sei \(f: K \to K \) eine beliebige Abbildung. Beweisen Sie, dass \(f\) eine Polynomfunktion ist, d.h. darstellbar als \(f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n} \) für ein \(n\in \mathbb N \) und Koeffizienten \(a_{0},...,a_{n} \in K \).

$$K = Z_{3}$$


Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir bitte helfen?

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Das stimmt so nicht , wähle f: R->R, f(x)=exp(x). Das ist kein (endliches) Polynom.

Wie lautet die vollständige Aufgabe?

Danke für deine Antwort! Habe noch mal nachgeguckt, \(K = Z_{3} \). Sorry!!! Aber danke, dass du mich drauf hingewiesen hast, so werde ich Zukunft aufmerksamer sein. So, und jetzt versuch ich mich noch mal an der Aufgabe

Gibt es denn Informationen über K? Das soll ja bestimmt ein Körper sein.

Edit: K=Z_3

Dann sollte es klappen :).

Hm, wie würdest  du an die Aufgabe herangehen?

Hallo

 ich würde überlegen, welche Werte f(x) annehmen kann und welche x!

Gruß lul

1 Antwort

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Bei einer beliebigen Abbildung kann jedem der drei Elemente von K eins von drei Elementen zugeordnet werden. Das gibt insgesamt 33=27 Abbildungen, die überhaupt möglich sind. Man kann sie repräsentieren z.B. durch alle Zahlentrippel, in denen nur die Zahlen 0, 1 und 2 stehen dürfen. Betrachtet  man auf der anderen Seite alle Polynome maximal zweiten Grades (die reichen nämlich), so sind dies ebenfalls genau 27. Und wenn man mal für diese 27 Polynome die drei Funktionswerte ausrechnet, wird man feststellen, dass es nie drei gleiche Werte gibt. Als Funktionen sind sie also alle verschieden. Somit kann jeder Abbildung genau eines dieser Polynome zugeordnet werden. Man könnte sich sogar die Mühe machen, das in Tabellenform darzustellen, ist reine Fleißarbeit.

Ein Argument mit Vektoren könnte so aussehen: Die Polynomfunktionen f1 bzw. f2 bzw. f3, die jedem x aus K den Wert 1 bzw. x bzw. x2 zuordnen, können durch die Vektoren (1 1 1) bzw. (0 1 2) bzw. (0 1 1) repräsentiert werden (Reihenfolge: die Werte für x=0 bzw. 1 bzw. 2), und man kann beweisen, dass sie linear unabhängig sind. 

Avatar von 1,4 k

Vielen lieben Dank!

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