Lineare Abhängigkeit: 5 Dimension, 4 Vektoren

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden Vektoren:

$$ \vec{a}=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {3} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} {5} \\ {8} \\ {17} \\ {-3} \\ {6} \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{l} {3} \\ {8} \\ {7} \\ {3} \\ {2} \end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-15} \\ {10} \\ {4} \\ {8} \end{array}\right) $$

Untersuchen Sie, ob diese Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind. Begründen Sie Ihre Antwort.

Kann ich hier wie beim 3-D Vektor losrechnen? Ich hab noch irgendwo gelesen, dass irgendwie die Dimension kleiner sein muss als die Anzahl der Vektoren, was hat dies für einen Grund? Ich würde hier einfach x1=.. x2=.. und das LGS auflösen... eventuell auch als Matrize.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Lineare Abhängigkeit: 4 Vektoren, 5 Dimensionen

Stichworte: quadratische-gleichungen,bruchgleichung,vektoren,lineare-abhängigkeit,unabhängig

Aufgabe:

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{5} \\ {8} \\ {17} \\ {-3} \\ {6}\end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c}{3} \\ {8} \\ {7} \\ {3} \\ {2}\end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {-15} \\ {10} \\ {4} \\ {8}\end{array}\right) \)

Ich habe mir Folgendes überlegt:

Dies ist ja eine 4x5 Matrix -> Keine Inverse möglich -> Linear abhänig

Rechnerisch beweisen: Ich habe hier eine obere Dreiecksmatrize bekommen mit den Diagonalen: 1, -2, 0 und 7/2 -> det(A) -> 0  Was mir rechnerisch zeigt, dass diese linear abhängig sind.

Stimmt das so weit?

Answer 1

Ich erstelle eine obere Dreiecksmatrix

[1, 2, 3, 0, 1]
[5, 8, 17, -3, 6]
[3, 8, 7, 3, 2]
[-1, -15, 10, 4, 8]

[1, 2, 3, 0, 1]
[0, -2, 2, -3, 1]
[0, 2, -2, 3, -1]
[0, -13, 13, 4, 9]

[1, 2, 3, 0, 1]
[0, -2, 2, -3, 1]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 47, 5]

Da man hier eine Nullzeile bekommt sind die Vektoren linear abhängig.

Comments

Wieso hast du hier Transponiert?

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Text erkannt:

\( \begin{array}{llll}{1} & {5} & {3} & {-1} \\ {0} & {(-2)} & {2} & {-14} \\ {0} & {0} & {0} & {-3} \\ {0} & {0} & {0} & {7/2} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array} \)

habe das bekommen -> linear abhängig... der Grund ist doch, weil wir einen affinen Unterraum haben dadurch unendlich viele Lösungen..

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Ich habe Transponiert, weil ich dann eine Zeile weniger habe. Hätte ich nicht machen müssen, das Ergebnis bleibt das gleiche.

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Ok, aber stimmt meine Aussage mit der Inverse? Man sieht doch direkt, dass die linear abhängig sind. ODer ist das eine falsche Aussage?

Answer 2

Aloha :)

Schreibe die Vektoren als Zeilen in eine Matrix. Bringe diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Dreieckform. Wenn am Ende mindestens eine Zeile mit lauter \(0\)en übrig bleibt, sind die Vektoren linear abhängig, sonst nicht. Eine 0-Zeile entsteht ja dadurch, dass Vielfache der anderen Zeilen addiert oder subtrahiert wurden. Also kann man die ursprüngliche Zeile durch die anderen Zeilen ausdrücken:$$\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3 & 0 & 1\\5 & 8 & 17 &-3 & 6\\3 & 8 & 7  &3 & 2\\-1 & -15 & 10 & 4 & 8\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3 & 0 & 1\\0 & 1 & -1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 0 & 0 & 47 & 5\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Die Vektoren sind linear abhängig.

Comments

Und was hast Du gegen Spaltenvektoren, die es doch sind?

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Das Verfahren funktioniert nur, wenn man die Vektoren als Zeilen einträgt. Es werden ja elementare "Zeilen"umformungen durchgeführt. Dadurch werden Vielfache der Vektoren von den anderen Vektoren abgezogen oder addiert, also linear miteinander kombiniert. Wenn dabei eine Null-Zeile entsteht, gibt es für wenigstens einen Vektor eine passende Linearkombination der anderen Vektoren.

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@Tschaka: Man darf dasselbe auch mit Spaltenvektoren tun, wenn man will. Zeilenumformungen sind von Hand einfach üblicher.

Answer 3

Ist das ein exaktes Duplikat oder gibt es neue Zahlen in der Frage im Kommentar?

Du hast 4 Vektoren im R^5. Die können theoretisch durchaus linear unabhängig sein. Bestimme z.B. den Rang der Matrix, die du mit diesen Vektoren bilden kannst.

Dies ist ja eine 4x5 Matrix -> Keine Inverse möglich -> Linear abhänig

Ist ok. Aber formuliere genauer:

Die Vektoren können in eine 4x5 Matrix (oder in eine 5x4-Matrix) geschrieben werden-> Keine Inverse möglich -> Linear abhängig

Achtung: Nur für quadratische Matrizen ist überhaupt eine Determinante definiert. D.h. die folgende Beschreibung von dir:

Rechnerisch beweisen: Ich habe hier eine obere Dreiecksmatrize bekommen mit den Diagonalen: 1, -2, 0 und 7/2 -> det(A) -> 0  Was mir rechnerisch zeigt, dass diese linear abhängig sind.

Ist auch falsch. 

Nullen in der Hauptdiagonalen einer oberen Dreiecksmatrix zeigen rechnerisch, dass die Vektoren linear abhängig sind. (Keine Determinanten erwähnen!)