Ungleichung | (1+z)^{n} -1 | ≤ (1+ |z|)^{n} -1 mit Beträgen von komplexen Zahlen beweisen

Question

Aufgabe:

Sei z ∈ ℂ. Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt

|  \( (1+z)^{n} \) -1  |    ≤    \( (1+ |z|)^{n} \) -1 

Problem/Ansatz:

Ich habe damit angefangen mit dem Binomischen Lehrsatz zu arbeiten, um die Ungleichung zu beweisen.

Dabei habe ich \( (1+z)^{n} \) umgeformt in \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \) \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) z^k ; die rechte Seite der Ungleichung ebenso. Indem man dann die Summe auf beiden Seiten statt bei Null ab der 1 laufen lässt, würde sich das -1 auf beiden Seiten aufheben.

Also habe ich bis jetzt die Ungleichung folgendermaßen umgeformt:

|  \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}\) \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) z^k  | ≤ \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) |z|^k

Nun fehlen mir die Ideen für die nächsten Schritte im Beweis.

Comments

Ist das nicht einfach eine Anwendung der Dreiecksungleichung? Tipp: Beginne mit der linken Seite und arbeite auf die rechte Seite hin.

Answer 1

Hallo,

wie ich bereits in meinem Kommentar angedeutet habe:

|(1+z)^n -1|

=| Summe (k=1 bis n) (n,k) *z^k |

<=Summe (k=1 bis n) (n,k) *|z|^k

=Summe (k=0 bis n) (n,k) *|z|^k        -1

=(1+|z|)^n -1

Comments

Super vielen Dank für deine Hilfe!

Answer 2

"Für alle natürlichen Zahlen" hört sich doch wohl stark nach vollständiger Induktion an. Für n=1 muss man es nur hinschreiben, beim Induktionsschritt benötigt man die Dreiecksungleichung. Diese kann man einmal anwenden, um die Induktionsvoraussetzung zu benutzen, und ein Mal für die einfache Ungleichung |1+z|<=1+|z|.

Comments

Danke für die Antwort. Induktion klingt nach einem guten Ansatz