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Hallo. Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:



(a) Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) (\Omega, \mathcal{A}, P) gegeben, sowie die Ereignisse A,B A, B und C. Die Ereignisse A,B,C A, B, C seinen stochastischunabhängig. Zeigen Sie
P(ABC)=1P(Aˉ)P(Bˉ)P(Cˉ) P(A \cup B \cup C)=1-P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C})
(b) Ein idealer Würfel werde zweimal hintereinander geworfen. Wir definieren die folgenden Ereignisse. A :  A: , die Augenzahl im ersten Wurf ist gerade",
B :  B: , die Augenzahl im zweiten Wurf ist mindestens 5" 5 "
C :  C: , die Augensumme ist ungerade",
D :  D: , die Augenzahl im zweiten Wurf ist höchstens 3 3 und
E :  E: , das Produkt der Augenzahlen ist durch 5 teilbar". Untersuchen Sie jeweils, ob die angegebenen Ereignisse stochastisch unabhängig sind und ob sie paarweise stochastisch unabhängig sind. i. A,C,D A, C, D ii. C,D,E C, D, E

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Was ist denn mit den Exponenten usw. bei Augenzahlen gemeint?Skärmavbild 2020-01-09 kl. 11.18.08.png

Text erkannt:

(a) Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Y( MOmega, Vmathcal(A), P) V gegeben, sowie die Ereignisse V(A,B ) und C . Die Ereignisse V(A,B,C) \mathrm{V}(\mathrm{A}, \mathrm{B} \text { ) und } \mathrm{C} \text { . Die Ereignisse } \mathrm{V}(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}) seinen stochastischunabhängig. Zeigen Sie SS P(A lcup B lcup C)=1P( bar {A}) \mathrm{P}(\mathrm{A} \text { lcup } \mathrm{B} \text { lcup } \mathrm{C})=1-\mathrm{P}(\text { bar }\{\mathrm{A}\}) lodot P \mathrm{P} (bar {B} \{\mathrm{B}\} ) lodot P \mathrm{P} Nbar\{Cy) SS (b) Ein idealer Würfel werde zweimal hintereinander geworfen. Wir definieren die folgenden Ereignisse. Y( A: ], die Augenzahl im ersten Wurf ist gerade", V(B : V), \mathrm{V}(\mathrm{B}: \mathrm{V}), die Augenzahl im zweiten Wurf ist mindestens V(5nV) \mathrm{V}\left(5^{\mathrm{n}} \mathrm{V}\right)
V(C : V), \mathrm{V}(\mathrm{C}: \mathrm{V}), die Augensumme ist ungerade" V(D : U), die Augenzahl im zweiten Wurf ist ho¨chstens Y(3N4}U) \mathrm{V}(\mathrm{D}: \mathrm{U}), \text { die Augenzahl im zweiten Wurf ist höchstens } \mathrm{Y}(3 \mathrm{N} 4\} \mathrm{U}) und V(E: U), das Produkt der Augenzahlen ist durch 5 teilbar". Untersuchen Sie jeweils, ob die angegebenen Ereignisse stochastisch unabhängig sind und ob sie paarweise stochastisch unabhängig sind. i. N(A,C,D ) ii. N(C,D,E) \mathrm{N}(\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{D} \cup \text { ) ii. } \mathrm{N}(\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E} \vee)

Bitte beim Entfernen von Bildern Vorsicht walten lassen.

Da sollte nur 3 sein nicht 34

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Wen A, B, C unabhängig sind, dann sind auch Aˉ,Bˉ,Cˉ\bar{A} , \bar{B} , \bar{C} unabhängig und es gilt dann P(Aˉ)P(Bˉ)P(Cˉ)=P(AˉBˉCˉ)P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C})=P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}), und AˉBˉCˉ\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} ist das Gegenereignis von  ABCA \cup B \cup C.

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Aloha :)

zu Teil a:)P(ABC)=1P(ABC)=1P(ABC)P(A\cup B\cup C)=1-P(\overline{A\cup B\cup C})=1-P(\overline A\cap\overline B\cap\overline C)P(ABC)=1P(A)P(B)P(C)\phantom{P(A\cup B\cup C)}=1-P(\overline A)\cdot P(\overline B)\cdot P(\overline C)Stichwort: Regeln von de Morgan für Mengen:

https://de.wikipedia.org/wiki/De_Morgansche_Gesetze


zu Teil b)p[A : (2,y)  (4,y)  (6,y)]=12p[A: (2,y)\;(4,y)\;(6,y)]=\frac{1}{2}p[B : (x,5)  (x,6)]=13p[B: (x,5)\;(x,6)]=\frac{1}{3}p[C : (x,y) mit x+y ungerade]=12p[C: (x,y)\text{ mit } x+y \text{ ungerade}]=\frac{1}{2}p[D : (x,1)  (x,2)  (x,3)]=12p[D: (x,1)\;(x,2)\;(x,3)]=\frac{1}{2}P[E : (x,5)  (5,y)]=1136P[E: (x,5)\;(5,y)]=\frac{11}{36}

Diese 5 Wahrscheinlichkeiten sollst du nun paarweise miteinader kombinieren. Wenn die Paare linear unabhängig sind, steht ein \checkmark am Ende, sonst ein \otimes.

P(AB)=#{(2,5)(2,6)(4,5)(4,6)(5,6)(6,6)}36=636=16P(A\cap B)=\frac{\#\{(2,5)(2,6)(4,5)(4,6)(5,6)(6,6)\}}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}P(AB)=1213=P(A)P(B)\phantom{P(A\cap B)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=P(A)\cdot P(B)\quad\checkmarkP(AC)=#{(2,1)(2,3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,3)(6,5)}36=936=14P(A\cap C)=\frac{\#\{(2,1)(2,3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,3)(6,5)\}}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}P(AC)=1212=P(A)P(C)\phantom{P(A\cap C)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=P(A)\cdot P(C)\quad\checkmarkP(AD)=#{(2,1)(2,2)(2,3)(4,1)(4,2)(4,3)(6,1)(6,2)(6,3)}36=936=14P(A\cap D)=\frac{\#\{(2,1)(2,2)(2,3)(4,1)(4,2)(4,3)(6,1)(6,2)(6,3)\}}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}P(AD)=1212=P(A)P(D)\phantom{P(A\cap D)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=P(A)\cdot P(D)\quad\checkmarkP(AE)=#{(2,5)(4,5)(6,5)}36=336=112P(A\cap E)=\frac{\#\{(2,5)(4,5)(6,5)\}}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}P(AE)121136=P(A)P(E)\phantom{P(A\cap E)}\ne\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{36}=P(A)\cdot P(E)\quad\otimesP(BC)=#{(2,5)(4,5)(6,5)(1,6)(3,6)(5,6)}36=636=16P(B\cap C)=\frac{\#\{(2,5)(4,5)(6,5)(1,6)(3,6)(5,6)\}}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}P(BC)=1312=P(B)P(C)\phantom{P(B\cap C)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=P(B)\cdot P(C)\quad\checkmarkP(BD)=#{}36=036=0P(B\cap D)=\frac{\#\{\}}{36}=\frac{0}{36}=0P(BD)1312=P(B)P(D)\phantom{P(B\cap D)}\ne\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=P(B)\cdot P(D)\quad\otimesP(BE)=#{(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(5,6)}36=736P(B\cap E)=\frac{\#\{(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(5,6)\}}{36}=\frac{7}{36}P(BE)131136=P(B)P(E)\phantom{P(B\cap E)}\ne\frac{1}{3}\cdot\frac{11}{36}=P(B)\cdot P(E)\quad\otimesP(CD)=#{(2,1)(4,1)(6,1)(1,2)(3,2)(5,2)(2,3)(4,3)(6,3)}36=936=14P(C\cap D)=\frac{\#\{(2,1)(4,1)(6,1)(1,2)(3,2)(5,2)(2,3)(4,3)(6,3)\}}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}P(CD)=1212=P(C)P(D)\phantom{P(C\cap D)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=P(C)\cdot P(D)\quad\checkmarkP(CE)=#{(2,5)(4,5)(6,5)(5,2)(5,4)(5,6)}36=636=16P(C\cap E)=\frac{\#\{(2,5)(4,5)(6,5)(5,2)(5,4)(5,6)\}}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}P(CE)121136=P(C)P(E)\phantom{P(C\cap E)}\ne\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{36}=P(C)\cdot P(E)\quad\otimesP(DE)=#{(5,1)(5,2)(5,3)}36=336=112P(D\cap E)=\frac{\#\{(5,1)(5,2)(5,3)\}}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}P(CD)121136=P(D)P(E)\phantom{P(C\cap D)}\ne\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{36}=P(D)\cdot P(E)\quad\otimes

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