Bestimme a so, dass g eine Tangente an die Parabel wird

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Parabel y²=4x und die Gerade g mit g:x+2y=a, a reell. Man soll a so bestimmen, dass g eine Tangente an die Parabel im Punkt P(4|y_p) wird!

Problem/Ansatz:

Ich habe die Geradengleichung nach y umgeformet -> y=-x/2 +a/2. P ermittelt -> P(4|+-4) <- y²=4x, y²=4*4=16->y=+-4

Dann -x/2 +a/2 in die Parabelgleichung eingesetzt -> (-x/2 +a/2)²=4x...Bekomme dann x²/4 -ax/2+a²/4=4x heraus...

Wie mache ich nun weiter, um a zu ermitteln?

Laut Lsgsheft kommt a=4 heraus...

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

y² = 4x → y = ±2·√x

Kannst du dir diesen Graphen vorstellen? Das ist eine nach rechts geöffnete Parabel.

x + 2·y = a -->  y = 0.5·a - 0.5·x

Kannst du dir diesen Graphen vorstellen? Das ist eine fallende Gerade. Welche Wurzelfunktion von oben wäre ebenfalls fallend? y = -2·√x oder?

Also kann die Gerade nur diese Funktion berühren.

Nun kannst du x einsetzen und y ausrechnen.

y = -2·√4 = -4

jetzt x und y einsetzen und a ausrechnen

a = x + 2·y = 4 + 2·(-4) = -4

Damit bist du fertig.

Comments

Danke, habe ich verstanden. Warum steht im Lösungsheft aber a=4 und nicht -4?

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Vielleicht ein Druckfehler?

Du kannst es dir ja mal zeichnen.

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Vielen Dank!

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Könntest du mir vielleicht bei dieser Aufgabe auch helfen?

Ermittle jene Tangenten an die Parabel, die zur Geraden g normal sind und gib die Koordinaten der Berührpukte an!

g:2x+y=18, par: y²=6x

Zunächst hätte ich die Geradengleichung nach y ungeformt, um die Steigung abzulesen...->y=-2x+18-> k=-2.

Und dann?

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Neue Fragen bitte jeweils als "neue Frage" stellen. Da ist die Chance grösser, dass das relativ bald jemand sieht.

https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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Es gibt eine allgemeine Theorie zu Kegelschnitten und Tangenten an Kegelschnitte. Wenn ihr das zumindest teilweise behandelt habt, kann man benutzen, dass die Tangente an eine Parabel mit der Gleichung y²=2*p*x im Punkt (x_B,y_B) durch die Gleichung y*y_B=p*(x+x_B) gegeben ist. Und wenn es nicht allgemein behandelt wurde, es lässt sich auch recht leicht herleiten. 

Answer 2

Hallo

Die Antwort ist fehlerhaft bitte nicht beachten!

du weisst ja, dass die Gerade durch (0,a/2) geht und durch (4,4)

also setz den Punkt in die Geradengleichung ein. dann kommt a=2 raus.

jetzt musst du noch zeigen, dass die Gerade Tangente ist, dazu zeigst du dass deine richtig Gleichung  mit dem richtigen a nur eine Lösung hat, also die Gerade keinen zweiten Schnittpunkt mit der Parabel hat.

Gruß lul

Comments

du weisst ja, dass die Gerade durch (0,a/2) geht und durch (4,4)

Woher weißt du den Punkt (4 | 4)?

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Die Idee ist ok. Für die zweite Koordinate von P gibt es aber zunächst zwei Möglichkeiten, nämlich 4 und -4. Wegen der negativen Steigung aller Geraden g_a kann es aber nur -4 sein. Also einfach x=4 und y= -4 einsetzen, ergibt direkt a= -4.