Beweisen Sie, dass \sqrt[2^n]{2} für jedes n ∈ N/{0} irrational ist mit Hilfe der vollständiger Induktion

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass \( \sqrt[2^n]{2} \) für jedes n ∈ N/{0}  irrational ist mit Hilfe der vollständiger Induktion

Answer 1

Die Quadratwurzel aus 2 ist irrational, das darfst du vermutlich benutzen. Warum ist dann auch die vierte Wurzel aus 2 irrational? Wenn sie es nicht wäre, könnte man ja einfach quadrieren. Dann erhält man einerseits die Wurzel aus 2, andererseits das Quadrat einer rationalen Zahl, also wieder eine rationale Zahl. Und das wäre ein Widerspruch. Dieses Argument "pflanzt sich fort" zur achten, 16ten Wurzel und so weiter. Formal macht man daraus eine vollständige Induktion.

Answer 2

Du brauchst zwei Hilfssätze:

1. \( \sqrt{2} \) ist irrational (für den Ind.Anf.)

2. Die Wurzel aus einer irrationalen Zahl ist irrational (einfacher indirekter Beweis).

Zu zeigen: Wenn \( \sqrt[2^n]{2} \) irrational ist,dann ist auch \( \sqrt[2^{n+1}]{2} \) irrational.

Dafür umformen \( \sqrt[2^{n+1}]{2} \) = \( 2^{ \frac{1}{2^{2n+1}} } \) =\( \sqrt{ (\sqrt[2^n]{2}) } \)) (das rot geschriebene streichen).

Darauf den zweiten Hilfssatz anwenden.