Ungebrochene Gerade zwischen einem Punkt auf einer Kugel und entfernten Punkten

Question

Aufgabe:

Wir haben eine Kugel mit 12 cm Durchmesser. In 150 cm Entfernung sind x Punkte verteilt. Wie viele Punkte müssen (eventuell gleichmäßig) um die Kugel verteilt werden, damit von jedem Punkt auf der Kugel eine ungebrochene Gerade zu genau zwei Punkten in die Distanz gezogen werden kann?

Ist das überhaupt möglich? Muss die Möglichkeit bestehen, dass es mehr als genau zwei Punkte sind, zu der eine Gerade gezogen werden kann?

Comments

... damit von jedem Punkt auf der Kugel eine ungebrochene Gerade ..

ich unterstelle mal Du meinst: 'damit von mindestens einem Punkt auf der Kugel eine ununterbrochene Gerade ..'

... kommt darauf an, wo genau sich die \(x\) Punkte befinden. Liegen sie alle in einer Ebene, dann reicht ein Punkt auf der Kugeloberfläche. Liegen sie auf einer Kugelschale um die Kugel herum, so geht es gar nicht!

Wie liegen die \(x\) Punkte genau bezogen auf die Kugel?

... zu genau zwei Punkten in die Distanz gezogen werden kann?

heißt das zu jedem(!) beliebigen Paar Punkten aus der Menge der \(x\) Punkte?

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Ununterbrochen klingt Richtig. 

Sie können überall und in beliebiger Menge in 150 cm Entfernung platziert werden - solange niemals mehr als zwei Geraden gezogen werden können. 

Ich stelle mir quasi einen (unbeweglichen) Planeten mit (unbeweglichen) Satelliten vor. (Dass die Satelliten Raum einnehmen ignoriere ich hierfür)

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... solange niemals mehr als zwei Geraden gezogen werden können.

was bedeutet das?

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Egal wo man sich auf dem Planeten befindet, man sieht niemals mehr als zwei Satelliten 

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Egal wo man sich auf dem Planeten befindet, man sieht niemals mehr als zwei Satelliten

Man sieht immer genau zwei Satelliten.

Answer 1

Hallo OoohShiny,

Ich habe Deine Frage so verstanden, dass Du \(x\) Satelliten in einer bestimmten Entfernung am Himmel positionieren möchtest, so dass von jedem Punkt der Erde genau zwei zu sehen sind.

Das ist nicht möglich. Der Bereich auf der Erde (bzw. auf einer Kugel), von dem aus ein Punkt außerhalb der Kugel freien Sichtkontakt hat, ist eine sogenannte Kugelkalotte. Jede dieser Kalotten (eine für jeden Punkt am Himmel) wäre kleiner als eine Halbschale, da die Punkte (Satelliten) in endlicher Entfernung zur Kugel (Erde) stehen.

Um Deine Bedingung zu erfüllen, müsste man die Kalotten so auf der Kugel positionieren das sie ohne Lücken aneinander liegen, ohne sich zu überlappen und das in zwei überlappenden Anordnungen. Das ist aber genauso unmögliche wie mit kreisrunden Fliesen in einer Ebene ein Badezimmer auszulegen ohne dass größere Zwischenräume entstehen.

... man kann es "ungefähr" erreichen, indem man die Punkte wie die Ecken eines Würfels positioniert. Je nach Entfernung wird es aber Bereiche auf der Kugel geben, von denen entweder nur ein Punkt (bei zu kleiner Entfernung) oder mehr als zwei Punkte (bei zu großer Entfernung) sichtbar sind.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, sie erklärt alles :3
Edit: Bei wie vielen Satelliten wäre es möglich es gleichmäßig zu verteilen, oder ist es generell unmöglich?