Gleichung von Kugel, deren Mittelpunkt auf g liegt, und die E und F als Tangentialebenen hat.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Ebenen \( \mathrm{E} \) und \( \mathrm{F} \) und eine Gerade \( \mathrm{g} \).

\( \text { E: } 5 x-2 y+14 z+32=0 \)

\( \text { g: } \vec{r}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) \)

Von \( \mathrm{F} \) kennt man einen Normalenvektor \( \vec{n}=\left(\begin{array}{c}5 \\ -2 \\ 14\end{array}\right) \) und einen Punkt \( \mathrm{P}(10 / 12 / 28) \).

Es gibt genau eine Kugel, deren Mittelpunkt auf g liegt, und für welche die beiden Ebenen Tangentialebenen sind.

Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Kugel.

Problem/Ansatz:

Was ich bis jetzt gemacht habe:

[5(3+2t) +2t+ 14(5+3t)+ 32]/ (25+ 4+ 14^2)= [5(3+2t) +2t+ 14(5+3t)-418]/(25+ 4+ 14^2)

doch wenn ich dies auflöse bekomme ich 32= -418

Comments

Du hast die Betragsstriche vergessen. Wenn Du die auflöst hast Du vier Fälle, die Du unterscheiden musst.

Answer 1

A: ax +by +cz = d; //allgemeine Ebenengleichung

E: 5x -2y +14z = -32;

F: 5x -2y +14z = 418; //Skalarprodukt aus Normalenvektor und x-Spaltenvektor x=(x;y;z), dann Punkt einsetzen

g: r1=(3+2t), r2=(-t), r3=(5+3t), r=(r1;r2;r3)

//Herleitung der Formel für den Abstand zwischen Punkt und Ebene

http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/a/abstand-punkt-ebene-formel.html

s = |a*r1 +b*r2 +c*r3 -d| / sqrt(a^2 +b^2 +c^2); //a,b,c aus Ebenengleichungen, s. allgemeine Ebenengleichung

s_E = s_F; //Werte aus E und Werte aus F einsetzen in Gleichung, r1,r2,r3 aus Geradengleichung einsetzen

|39+18t| = |-111+18t|; --> 4 Fälle, 1 Lösung für

|39+18t| > 0 ∧  |-111+18t| < 0;

t = 2; //in Geradengleichung einsetzen

g: r = (7; -2; 11); //A.: P(7; -2; 11) ist der Punkt auf der Gerade g bei dem die Kugel beide Ebenen berührt

t = 2; //Punkt-Ebene-Abstand-Gleichung einsetzen

R = 15; //Radius der Kugel

Kugelgleichung:

K: (x -7)^2 +(y +2)^2 +(z -11)^2 = 15^2;

 

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lg JR