Aloha :)
Eine waagerechte Tangente hat die Steigung \(0\). Hier sollen also alle Stellen \(x\) gefunden werden, an denen die erste Ableitung der Funktion \(f(x)\) verschwindet. Die Forderung an die \(x\) lautet also: \(f'(x)\stackrel{!}{=}0\). Wir bilden daher zunächst die Ableitung:
$$f'(x)=\left(\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)'=\underbrace{\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(-\frac{2(x-\mu)}{2\sigma^2}\right)}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{f'(x)}=-\frac{11}{\sigma^2\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot(x-\mu)\stackrel{!}{=}0$$Da die Exponentialfunktion immer \(>0\), kann die erste Ableitung nur verschwinden, wenn \(x_0=\mu\) ist.
Da wir den Punkt benötigen, müssen wir noch die zu \(x_0=\mu\) gehörende \(y\)-Koordinate bestimmen.$$y_0=f(x_0)=f(\mu)=\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\underbrace{e^{-\frac{(\mu-\mu)^2}{2\sigma^2}}}_{=e^0=1}=\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$$Es gibt also genau einen Punkt, an dem die Tangente an \(f(x)\) waagerecht verläuft:$$P_0\left(\mu\,\left|\,\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right.\right)$$
