Wie lautet die letzte Ziffer der Zahl 2^2020-2

Question

Aufgabe:

Wie lautet die letzte Ziffer der Zahl 2^2020 - 2?

Problem/Ansatz:

Durch Aufschreiben der Zweierpotenzen erkennt man, dass die letzten Ziffern der Potenzen sich immer nach vier aufeinanderfolgenden Potenzen wiederholen. Soweit so gut.

Also habe ich wie folgt gerechnet:

2020:4 = 505 ohne Rest

5 Schritte der wiederholenden Potenzen abgezählt: 2;4;8;6;2

2-2 = 0

Die letzte Ziffer müsste dann 0 lauten.

Stimmt das so? Wenn nicht, wo liegt dann mein Denkfehler?

Vielen Dank schon mal!

Comments

Nein, 4 ist die letzte Ziffer:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=last+digit+of+2%5E%282020%29-2

Answer 1

Aloha :)

Wir zeigen zunächst durch vollständige Induktion, dass \(16^n\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) auf einer \(6\) endet. Das heißt, für jedes \(n\in\mathbb{N}\) gibt es ein \(m_n\in\mathbb{N}\), sodass gilt:$$16^n=10\cdot m_n+6$$

Verankerung bei \(n=1\):$$16^1=10\cdot1+6\quad\Rightarrow\quad m_1=1\in\mathbb{N}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$16^{n+1}=16^n\cdot16=\left(10\cdot m_n+6\right)\cdot16=160\cdot m_n+96=(160\cdot m_n+90)+6$$$$\phantom{16^{n+1}}=10\cdot\underbrace{(16\cdot m_n+9)}_{=m_{n+1}}+6\quad\Rightarrow\quad m_{n+1}=16\cdot m_n+9\in\mathbb{N}\quad\checkmark$$

Damit ist nun klar, dass \(2^{2020}=4^{1010}=16^{505}\) auf einer \(6\) endet.

\(2^{2020}-2\) endet daher auf einer \(4\).

Answer 2

Es sind 505 Schritte von 4 sich wiederholenden Endziffern der Potenzen. also 2²⁰²⁰ endet auf 6 und 2²⁰²⁰-2 endet auf 4.  

Comments

Könntest du mir bitte einen für mich verständlichen Rechenweg aufschreiben, da ich ja nicht jetzt 505 Schritte abzähle bis ich auf die 6 komme und ich diese schriftliche Rechnung für die Aufgabe bräuchte.

---

Die Reste 2;4;8;6 wiederholen sich periodisch (die 8., 12., 16., 20. usw. Zahl ist wieder eine 6). Die 2020-te Zahl ist dann auch eine 6, weil 2020 in der Viererreihe liegt. 6-2=4.

Answer 3

2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64

Fällt dir etwas auf was die Endziffern angeht ?

2020 MOD 4 = 0 → 2^2020 endet auf die Gleiche Ziffer wie 2^4 also auf 6

Zieht man davon 2 ab erhält man 4.