Letzte Ziffer von 7^98?

Question

Aufgabe:

Was ist die letzte Ziffer der Zahl 7⁹⁸

Problem/Ansatz:

Ich lerne gerade für meine Klausuren und bin leider bei dieser Aufgabe stecken geblieben.
7⁹⁸ = k*10 + r (r ist gesucht) m = 10
98 = 2*49
7^2*49 = (7²)⁴⁹ = 49⁴⁹
Um es einfacher zu machen, muss ich eine Zahl finden, welche die Selbe Restklasse wie 49 bei Division durch 10 hat. 49 = 10+9. Also 49 hat bei Division durch 10 den Rest 9. Hier an der Stelle komme ich aber nicht weiter, da ich nicht weiß, wie ich diese Zahl finde und auch wenn ich diese Zahl habe, weiß ich nicht wie es weitergeht.

Kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Man könnte zum Beispiel $$7^4=\left(7^2\right)^2=\left(50-1\right)^2=2500-2\cdot 50\cdot 1+1^2=2401\equiv 1 \mod 10$$nutzen.

Answer 2

Hallo,

bilde doch mal die ersten Potenzen von 7 und betrachte immer nur die Einerziffer.

7^1 → 7

7² → 9

7³ → 3

usw.

:-)

Answer 3

Aloha :)

$$7^{98}\operatorname{mod}10=(7^2\cdot(7^4)^{24})\operatorname{mod}10$$$$\phantom{7^{98}\operatorname{mod}10}=((7^2\operatorname{mod}10)\cdot(7^4\operatorname{mod}10)^{24})\operatorname{mod}10$$$$\phantom{7^{98}\operatorname{mod}10}=((49\operatorname{mod}10)\cdot(2401\operatorname{mod}10)^{24})\operatorname{mod}10$$$$\phantom{7^{98}\operatorname{mod}10}=(9\cdot1^{24})\operatorname{mod}10$$$$\phantom{7^{98}\operatorname{mod}10}=9$$

Answer 4

Mein Vorschlag (keine Gewähr):

7^98 mod 10 = 49^(49) mod 10 =

 9^49 mod 10

Du kannst sehen, wenn der Exponent von der 9 gerade ist, dann kommt am Ende die 1, wenn er jedoch ungerade ist, wie hier, dann steht am Ende die 1.

Zum Beispiel

9*9 = 81; 9^4 = 6561; 9^6 = 531441

9^1 = 9; 9^3=729; 9^5= 59049

und so geht es immer weiter. Von daher steht am Ende von 7^98 die 9.

Edit: Du kannst 9^49 mod auch schreiben als (-1)^49 mod 10 , was gleich -1 ist, da (-1) hoch eine ungerade Zahl wieder gleich -1 ist, und -1 mod 10 ist gleich 9.

Comments

Dein Lösungsweg wird noch etwas besser, wenn du "zum Beispiel" weglässt und stattdessen

9≡-1 mod 10

nutzt.

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Ja, das kam mir auch in den Sinn, mit dem Beispiel soll der Nutzer nur verstehen, was ich damit meinte.

Answer 5

Noch ein paar Überlegungen:

die prime Restklassengruppe modulo 10 hat die Ordnung 4.

Daher gilt für jede zu 10 prime ganze Zahl \(x\): \(x^4\equiv 1\) mod \(10\)

und daher auch \(x^2\equiv x^{-2}\). Damit ergibt sich

\(7^{98}\equiv 7^{4\cdot 25}\cdot 7^{-2}\equiv 7^2=49\equiv 9\) mod 10.