Erzeugende Funktion einer Rekursion angeben

Question

es gelte

a_n = 3a_n-1 - 2a_n-2

a₀ = 1

a₁ = -4

Ich habe die Rekursion jetzt gelöst und folgendes Ergebnis erhalten:

a_n = -5 * 2ⁿ + 6 (* 1ⁿ)

Jetzt heißt es, dass wir noch die erzeugende Funktion zu obiger Rekursion angeben sollen. Wie sähe diese aus oder muss ich die noch explizit berechnen? Oder ist das schon die erzeugende Funktion...

Danke :)

Answer 1

a_{n} = -5 * 2^{n} + 6 (* 1^{n})

Das wäre desselbe wie

a_{n} = -5 * 2^{n} + 6 

Meinst du das so?

a_{1} = -5 * 2 + 6 = -4

a_{2} = -5 * 2^2 + 6 = -14

usw.

Wolltest du das so?

Comments

Ich meine, es wäre eine Potenzreihe zu gegebener Rekursion gemeint, da "erzeugende Funktion" wohl ein Synonym von "formale Potenzreihe" ist...

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Ich verstehe nun nicht so ganz, warum du das wieder umbenennst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Formale_Potenzreihe#Formale_Potenzreihe

Kannst du nicht einfach die Potenzreihe von y= - 5 * 2^n nehmen und bei a0 noch 6 addieren?

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Hmm... wie sähe diese denn aus?

Answer 2

Die explizite Darstellung ist korrekt, etwas vereinfacht ist a_n=6-5*2ⁿ.

Erhält man auch bei Wolfram Alpha mit der Eingabe "a(0)=1, a(1)=-4, a(n)=3a(n-1)-2a(n-2)".

Nun muss man nun nur noch die erzeugenden Funktionen für die konstante Folge 1 und die Folge 2ⁿ kennen und daraus die dem Term entsprechende Linearkombination bilden. Und die kann man sich beide mit der geometrischen Reihe erklären. Das, was man daraus erhält, liefert auch Wolfram Alpha mit "generating function (6-5*2^n)".